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Resolución de integrales/ tg^3(4x)

Integral de tg^3(4x) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1             
  /             
 |              
 |     3        
 |  tan (4*x) dx
 |              
/               
0
∫01tan⁡3(4x) dx\int\limits_{0}^{1} \tan^{3}{\left(4 x \right)}\, dx 
Integral(tan(4*x)^3, (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Vuelva a escribir el integrando:

    tan⁡3(4x)=(sec⁡2(4x)−1)tan⁡(4x)\tan^{3}{\left(4 x \right)} = \left(\sec^{2}{\left(4 x \right)} - 1\right) \tan{\left(4 x \right)}

  2. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=sec⁡2(4x)u = \sec^{2}{\left(4 x \right)}.

      Luego que du=8tan⁡(4x)sec⁡2(4x)dxdu = 8 \tan{\left(4 x \right)} \sec^{2}{\left(4 x \right)} dx y ponemos du8\frac{du}{8}:

      ∫u−18u du\int \frac{u - 1}{8 u}\, du

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫u−1u du=∫u−1u du8\int \frac{u - 1}{u}\, du = \frac{\int \frac{u - 1}{u}\, du}{8}

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          u−1u=1−1u\frac{u - 1}{u} = 1 - \frac{1}{u}

        2. Integramos término a término:

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫1 du=u\int 1\, du = u

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫(−1u) du=−∫1u du\int \left(- \frac{1}{u}\right)\, du = - \int \frac{1}{u}\, du

            1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

            Por lo tanto, el resultado es: −log⁡(u)- \log{\left(u \right)}

          El resultado es: u−log⁡(u)u - \log{\left(u \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: u8−log⁡(u)8\frac{u}{8} - \frac{\log{\left(u \right)}}{8}

      Si ahora sustituir uu más en:

      −log⁡(sec⁡2(4x))8+sec⁡2(4x)8- \frac{\log{\left(\sec^{2}{\left(4 x \right)} \right)}}{8} + \frac{\sec^{2}{\left(4 x \right)}}{8}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (sec⁡2(4x)−1)tan⁡(4x)=tan⁡(4x)sec⁡2(4x)−tan⁡(4x)\left(\sec^{2}{\left(4 x \right)} - 1\right) \tan{\left(4 x \right)} = \tan{\left(4 x \right)} \sec^{2}{\left(4 x \right)} - \tan{\left(4 x \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. que u=sec⁡(4x)u = \sec{\left(4 x \right)}.

        Luego que du=4tan⁡(4x)sec⁡(4x)dxdu = 4 \tan{\left(4 x \right)} \sec{\left(4 x \right)} dx y ponemos du4\frac{du}{4}:

        ∫u4 du\int \frac{u}{4}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫u du=∫u du4\int u\, du = \frac{\int u\, du}{4}

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫u du=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

          Por lo tanto, el resultado es: u28\frac{u^{2}}{8}

        Si ahora sustituir uu más en:

        sec⁡2(4x)8\frac{\sec^{2}{\left(4 x \right)}}{8}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−tan⁡(4x)) dx=−∫tan⁡(4x) dx\int \left(- \tan{\left(4 x \right)}\right)\, dx = - \int \tan{\left(4 x \right)}\, dx

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          tan⁡(4x)=sin⁡(4x)cos⁡(4x)\tan{\left(4 x \right)} = \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{\cos{\left(4 x \right)}}

        2. que u=cos⁡(4x)u = \cos{\left(4 x \right)}.

          Luego que du=−4sin⁡(4x)dxdu = - 4 \sin{\left(4 x \right)} dx y ponemos −du4- \frac{du}{4}:

          ∫(−14u) du\int \left(- \frac{1}{4 u}\right)\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫1u du=−∫1u du4\int \frac{1}{u}\, du = - \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{4}

            1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

            Por lo tanto, el resultado es: −log⁡(u)4- \frac{\log{\left(u \right)}}{4}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −log⁡(cos⁡(4x))4- \frac{\log{\left(\cos{\left(4 x \right)} \right)}}{4}

        Por lo tanto, el resultado es: log⁡(cos⁡(4x))4\frac{\log{\left(\cos{\left(4 x \right)} \right)}}{4}

      El resultado es: log⁡(cos⁡(4x))4+sec⁡2(4x)8\frac{\log{\left(\cos{\left(4 x \right)} \right)}}{4} + \frac{\sec^{2}{\left(4 x \right)}}{8}

    Método #3

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (sec⁡2(4x)−1)tan⁡(4x)=tan⁡(4x)sec⁡2(4x)−tan⁡(4x)\left(\sec^{2}{\left(4 x \right)} - 1\right) \tan{\left(4 x \right)} = \tan{\left(4 x \right)} \sec^{2}{\left(4 x \right)} - \tan{\left(4 x \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. que u=sec⁡(4x)u = \sec{\left(4 x \right)}.

        Luego que du=4tan⁡(4x)sec⁡(4x)dxdu = 4 \tan{\left(4 x \right)} \sec{\left(4 x \right)} dx y ponemos du4\frac{du}{4}:

        ∫u4 du\int \frac{u}{4}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫u du=∫u du4\int u\, du = \frac{\int u\, du}{4}

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫u du=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

          Por lo tanto, el resultado es: u28\frac{u^{2}}{8}

        Si ahora sustituir uu más en:

        sec⁡2(4x)8\frac{\sec^{2}{\left(4 x \right)}}{8}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−tan⁡(4x)) dx=−∫tan⁡(4x) dx\int \left(- \tan{\left(4 x \right)}\right)\, dx = - \int \tan{\left(4 x \right)}\, dx

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          tan⁡(4x)=sin⁡(4x)cos⁡(4x)\tan{\left(4 x \right)} = \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{\cos{\left(4 x \right)}}

        2. que u=cos⁡(4x)u = \cos{\left(4 x \right)}.

          Luego que du=−4sin⁡(4x)dxdu = - 4 \sin{\left(4 x \right)} dx y ponemos −du4- \frac{du}{4}:

          ∫(−14u) du\int \left(- \frac{1}{4 u}\right)\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫1u du=−∫1u du4\int \frac{1}{u}\, du = - \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{4}

            1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

            Por lo tanto, el resultado es: −log⁡(u)4- \frac{\log{\left(u \right)}}{4}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −log⁡(cos⁡(4x))4- \frac{\log{\left(\cos{\left(4 x \right)} \right)}}{4}

        Por lo tanto, el resultado es: log⁡(cos⁡(4x))4\frac{\log{\left(\cos{\left(4 x \right)} \right)}}{4}

      El resultado es: log⁡(cos⁡(4x))4+sec⁡2(4x)8\frac{\log{\left(\cos{\left(4 x \right)} \right)}}{4} + \frac{\sec^{2}{\left(4 x \right)}}{8}

  3. Añadimos la constante de integración:

    −log⁡(sec⁡2(4x))8+sec⁡2(4x)8+constant- \frac{\log{\left(\sec^{2}{\left(4 x \right)} \right)}}{8} + \frac{\sec^{2}{\left(4 x \right)}}{8}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

−log⁡(sec⁡2(4x))8+sec⁡2(4x)8+constant- \frac{\log{\left(\sec^{2}{\left(4 x \right)} \right)}}{8} + \frac{\sec^{2}{\left(4 x \right)}}{8}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                             
 |                       /   2     \      2     
 |    3               log\sec (4*x)/   sec (4*x)
 | tan (4*x) dx = C - -------------- + ---------
 |                          8              8    
/
∫tan⁡3(4x) dx=C−log⁡(sec⁡2(4x))8+sec⁡2(4x)8\int \tan^{3}{\left(4 x \right)}\, dx = C - \frac{\log{\left(\sec^{2}{\left(4 x \right)} \right)}}{8} + \frac{\sec^{2}{\left(4 x \right)}}{8}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.90-2000000000000020000000000000
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
  1   log(-cos(4))       1       pi*I
- - + ------------ + --------- + ----
  8        4              2       4  
                     8*cos (4)
−18+log⁡(−cos⁡(4))4+18cos⁡2(4)+iπ4- \frac{1}{8} + \frac{\log{\left(- \cos{\left(4 \right)} \right)}}{4} + \frac{1}{8 \cos^{2}{\left(4 \right)}} + \frac{i \pi}{4} 
=
= 
  1   log(-cos(4))       1       pi*I
- - + ------------ + --------- + ----
  8        4              2       4  
                     8*cos (4)
−18+log⁡(−cos⁡(4))4+18cos⁡2(4)+iπ4- \frac{1}{8} + \frac{\log{\left(- \cos{\left(4 \right)} \right)}}{4} + \frac{1}{8 \cos^{2}{\left(4 \right)}} + \frac{i \pi}{4} 
-1/8 + log(-cos(4))/4 + 1/(8*cos(4)^2) + pi*i/4
Respuesta numérica [src] 
35457.2393960552
35457.2393960552

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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