Integral de (1+2*x^2*log(x))*dx dx

1. Integramos término a término:

   1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. que $u = \log{\left(x \right)}$.

         Luego que $du = \frac{dx}{x}$ y ponemos $2 du$:

         $\int 2 u e^{3 u}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int u e^{3 u}\, du = 2 \int u e^{3 u}\, du$

            1. Usamos la integración por partes:

               $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

               que $u{\left(u \right)} = u$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{3 u}$.

               Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1$.

               Para buscar $v{\left(u \right)}$:

               1. que $u = 3 u$.

                  Luego que $du = 3 du$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

                  $\int \frac{e^{u}}{3}\, du$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\text{False}$

                     1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                        $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{3}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\frac{e^{3 u}}{3}$

               Ahora resolvemos podintegral.

            2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{e^{3 u}}{3}\, du = \frac{\int e^{3 u}\, du}{3}$

               1. que $u = 3 u$.

                  Luego que $du = 3 du$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

                  $\int \frac{e^{u}}{3}\, du$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\text{False}$

                     1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                        $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{3}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\frac{e^{3 u}}{3}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{3 u}}{9}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 u e^{3 u}}{3} - \frac{2 e^{3 u}}{9}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{2 x^{3} \log{\left(x \right)}}{3} - \frac{2 x^{3}}{9}$

      Método #2

      1. Usamos la integración por partes:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         que $u{\left(x \right)} = \log{\left(x \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = 2 x^{2}$.

         Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x}$.

         Para buscar $v{\left(x \right)}$:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 2 x^{2}\, dx = 2 \int x^{2}\, dx$

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 x^{3}}{3}$

         Ahora resolvemos podintegral.

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{2 x^{2}}{3}\, dx = \frac{2 \int x^{2}\, dx}{3}$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 x^{3}}{9}$

   1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

      $\int 1\, dx = x$

   El resultado es: $\frac{2 x^{3} \log{\left(x \right)}}{3} - \frac{2 x^{3}}{9} + x$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{x \left(6 x^{2} \log{\left(x \right)} - 2 x^{2} + 9\right)}{9}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{x \left(6 x^{2} \log{\left(x \right)} - 2 x^{2} + 9\right)}{9}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{x \left(6 x^{2} \log{\left(x \right)} - 2 x^{2} + 9\right)}{9}+ \mathrm{constant}$