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Resolución de integrales/ pi^x(1+pi(-x))^2dx

Integral de pi^x(1+pi(-x))^2dx dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                      
  /                      
 |                       
 |    x              2   
 |  pi *(1 + pi*(-x))  dx
 |                       
/                        
0
∫01πx(π(−x)+1)2 dx\int\limits_{0}^{1} \pi^{x} \left(\pi \left(- x\right) + 1\right)^{2}\, dx 
Integral(pi^x*(1 + pi*(-x))^2, (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Vuelva a escribir el integrando:

    πx(π(−x)+1)2=π2πxx2−2ππxx+πx\pi^{x} \left(\pi \left(- x\right) + 1\right)^{2} = \pi^{2} \pi^{x} x^{2} - 2 \pi \pi^{x} x + \pi^{x}

  2. Integramos término a término:

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫π2πxx2 dx=π2∫πxx2 dx\int \pi^{2} \pi^{x} x^{2}\, dx = \pi^{2} \int \pi^{x} x^{2}\, dx

      1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

        Pero la integral

        πx(x2log⁡(π)2−2xlog⁡(π)+2)log⁡(π)3\frac{\pi^{x} \left(x^{2} \log{\left(\pi \right)}^{2} - 2 x \log{\left(\pi \right)} + 2\right)}{\log{\left(\pi \right)}^{3}}

      Por lo tanto, el resultado es: π2πx(x2log⁡(π)2−2xlog⁡(π)+2)log⁡(π)3\frac{\pi^{2} \pi^{x} \left(x^{2} \log{\left(\pi \right)}^{2} - 2 x \log{\left(\pi \right)} + 2\right)}{\log{\left(\pi \right)}^{3}}

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫(−2ππxx) dx=−2π∫πxx dx\int \left(- 2 \pi \pi^{x} x\right)\, dx = - 2 \pi \int \pi^{x} x\, dx

      1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

        Pero la integral

        πx(xlog⁡(π)−1)log⁡(π)2\frac{\pi^{x} \left(x \log{\left(\pi \right)} - 1\right)}{\log{\left(\pi \right)}^{2}}

      Por lo tanto, el resultado es: −2ππx(xlog⁡(π)−1)log⁡(π)2- \frac{2 \pi \pi^{x} \left(x \log{\left(\pi \right)} - 1\right)}{\log{\left(\pi \right)}^{2}}

    1. La integral de la función exponencial es igual a la mesma, dividida por la base de logaritmo natural.

      ∫πx dx=πxlog⁡(π)\int \pi^{x}\, dx = \frac{\pi^{x}}{\log{\left(\pi \right)}}

    El resultado es: −2ππx(xlog⁡(π)−1)log⁡(π)2+π2πx(x2log⁡(π)2−2xlog⁡(π)+2)log⁡(π)3+πxlog⁡(π)- \frac{2 \pi \pi^{x} \left(x \log{\left(\pi \right)} - 1\right)}{\log{\left(\pi \right)}^{2}} + \frac{\pi^{2} \pi^{x} \left(x^{2} \log{\left(\pi \right)}^{2} - 2 x \log{\left(\pi \right)} + 2\right)}{\log{\left(\pi \right)}^{3}} + \frac{\pi^{x}}{\log{\left(\pi \right)}}

  3. Ahora simplificar:

    πxlog⁡(π)2+2πx+1(−xlog⁡(π)+1)log⁡(π)+πx+2(x2log⁡(π)2−2xlog⁡(π)+2)log⁡(π)3\frac{\pi^{x} \log{\left(\pi \right)}^{2} + 2 \pi^{x + 1} \left(- x \log{\left(\pi \right)} + 1\right) \log{\left(\pi \right)} + \pi^{x + 2} \left(x^{2} \log{\left(\pi \right)}^{2} - 2 x \log{\left(\pi \right)} + 2\right)}{\log{\left(\pi \right)}^{3}}

  4. Añadimos la constante de integración:

    πxlog⁡(π)2+2πx+1(−xlog⁡(π)+1)log⁡(π)+πx+2(x2log⁡(π)2−2xlog⁡(π)+2)log⁡(π)3+constant\frac{\pi^{x} \log{\left(\pi \right)}^{2} + 2 \pi^{x + 1} \left(- x \log{\left(\pi \right)} + 1\right) \log{\left(\pi \right)} + \pi^{x + 2} \left(x^{2} \log{\left(\pi \right)}^{2} - 2 x \log{\left(\pi \right)} + 2\right)}{\log{\left(\pi \right)}^{3}}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

πxlog⁡(π)2+2πx+1(−xlog⁡(π)+1)log⁡(π)+πx+2(x2log⁡(π)2−2xlog⁡(π)+2)log⁡(π)3+constant\frac{\pi^{x} \log{\left(\pi \right)}^{2} + 2 \pi^{x + 1} \left(- x \log{\left(\pi \right)} + 1\right) \log{\left(\pi \right)} + \pi^{x + 2} \left(x^{2} \log{\left(\pi \right)}^{2} - 2 x \log{\left(\pi \right)} + 2\right)}{\log{\left(\pi \right)}^{3}}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                                                                         
 |                                 x       2   x /     2    2                  \          x                 
 |   x              2            pi      pi *pi *\2 + x *log (pi) - 2*x*log(pi)/   2*pi*pi *(-1 + x*log(pi))
 | pi *(1 + pi*(-x))  dx = C + ------- + --------------------------------------- - -------------------------
 |                             log(pi)                      3                                  2            
/                                                        log (pi)                           log (pi)
∫πx(π(−x)+1)2 dx=−2ππx(xlog⁡(π)−1)log⁡(π)2+π2πx(x2log⁡(π)2−2xlog⁡(π)+2)log⁡(π)3+πxlog⁡(π)+C\int \pi^{x} \left(\pi \left(- x\right) + 1\right)^{2}\, dx = - \frac{2 \pi \pi^{x} \left(x \log{\left(\pi \right)} - 1\right)}{\log{\left(\pi \right)}^{2}} + \frac{\pi^{2} \pi^{x} \left(x^{2} \log{\left(\pi \right)}^{2} - 2 x \log{\left(\pi \right)} + 2\right)}{\log{\left(\pi \right)}^{3}} + \frac{\pi^{x}}{\log{\left(\pi \right)}} + C
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.90025
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
     2           2                     /   2           2     2    2               2           2                       \
  log (pi) + 2*pi  + 2*pi*log(pi)   pi*\log (pi) + 2*pi  + pi *log (pi) - 2*pi*log (pi) - 2*pi *log(pi) + 2*pi*log(pi)/
- ------------------------------- + -----------------------------------------------------------------------------------
                 3                                                           3                                         
              log (pi)                                                    log (pi)
−log⁡(π)2+2πlog⁡(π)+2π2log⁡(π)3+π(−2π2log⁡(π)−2πlog⁡(π)2+log⁡(π)2+2πlog⁡(π)+π2log⁡(π)2+2π2)log⁡(π)3- \frac{\log{\left(\pi \right)}^{2} + 2 \pi \log{\left(\pi \right)} + 2 \pi^{2}}{\log{\left(\pi \right)}^{3}} + \frac{\pi \left(- 2 \pi^{2} \log{\left(\pi \right)} - 2 \pi \log{\left(\pi \right)}^{2} + \log{\left(\pi \right)}^{2} + 2 \pi \log{\left(\pi \right)} + \pi^{2} \log{\left(\pi \right)}^{2} + 2 \pi^{2}\right)}{\log{\left(\pi \right)}^{3}} 
=
= 
     2           2                     /   2           2     2    2               2           2                       \
  log (pi) + 2*pi  + 2*pi*log(pi)   pi*\log (pi) + 2*pi  + pi *log (pi) - 2*pi*log (pi) - 2*pi *log(pi) + 2*pi*log(pi)/
- ------------------------------- + -----------------------------------------------------------------------------------
                 3                                                           3                                         
              log (pi)                                                    log (pi)
−log⁡(π)2+2πlog⁡(π)+2π2log⁡(π)3+π(−2π2log⁡(π)−2πlog⁡(π)2+log⁡(π)2+2πlog⁡(π)+π2log⁡(π)2+2π2)log⁡(π)3- \frac{\log{\left(\pi \right)}^{2} + 2 \pi \log{\left(\pi \right)} + 2 \pi^{2}}{\log{\left(\pi \right)}^{3}} + \frac{\pi \left(- 2 \pi^{2} \log{\left(\pi \right)} - 2 \pi \log{\left(\pi \right)}^{2} + \log{\left(\pi \right)}^{2} + 2 \pi \log{\left(\pi \right)} + \pi^{2} \log{\left(\pi \right)}^{2} + 2 \pi^{2}\right)}{\log{\left(\pi \right)}^{3}} 
-(log(pi)^2 + 2*pi^2 + 2*pi*log(pi))/log(pi)^3 + pi*(log(pi)^2 + 2*pi^2 + pi^2*log(pi)^2 - 2*pi*log(pi)^2 - 2*pi^2*log(pi) + 2*pi*log(pi))/log(pi)^3
Respuesta numérica [src] 
2.83990339755235
2.83990339755235

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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