Integral de pi*(1+(sqrtx))^2 dx

1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

   $\int \pi \left(\sqrt{x} + 1\right)^{2}\, dx = \pi \int \left(\sqrt{x} + 1\right)^{2}\, dx$

   1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. que $u = \sqrt{x}$.

         Luego que $du = \frac{dx}{2 \sqrt{x}}$ y ponemos $du$:

         $\int \left(2 u^{3} + 4 u^{2} + 2 u\right)\, du$

         1. Integramos término a término:

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int 2 u^{3}\, du = 2 \int u^{3}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{4}}{2}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int 4 u^{2}\, du = 4 \int u^{2}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{4 u^{3}}{3}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int 2 u\, du = 2 \int u\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

               Por lo tanto, el resultado es: $u^{2}$

            El resultado es: $\frac{u^{4}}{2} + \frac{4 u^{3}}{3} + u^{2}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{x^{2}}{2} + x$

      Método #2

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\left(\sqrt{x} + 1\right)^{2} = 2 \sqrt{x} + x + 1$

      2. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 2 \sqrt{x}\, dx = 2 \int \sqrt{x}\, dx$

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int \sqrt{x}\, dx = \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3}$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int 1\, dx = x$

         El resultado es: $\frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{x^{2}}{2} + x$

   Por lo tanto, el resultado es: $\pi \left(\frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{x^{2}}{2} + x\right)$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{\pi \left(8 x^{\frac{3}{2}} + 3 x^{2} + 6 x\right)}{6}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\pi \left(8 x^{\frac{3}{2}} + 3 x^{2} + 6 x\right)}{6}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\pi \left(8 x^{\frac{3}{2}} + 3 x^{2} + 6 x\right)}{6}+ \mathrm{constant}$