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Resolución de integrales/ x^2-1/ (x-1)/ pi*(x^2-1-2*(x-1)^2)

Integral de pi*(x^2-1-2*(x-1)^2) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  3                            
  /                            
 |                             
 |     / 2                2\   
 |  pi*\x  - 1 - 2*(x - 1) / dx
 |                             
/                              
1
∫13π(−2(x−1)2+(x2−1)) dx\int\limits_{1}^{3} \pi \left(- 2 \left(x - 1\right)^{2} + \left(x^{2} - 1\right)\right)\, dx 
Integral(pi*(x^2 - 1 - 2*(x - 1)^2), (x, 1, 3))
Solución detallada

  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

    ∫π(−2(x−1)2+(x2−1)) dx=π∫(−2(x−1)2+(x2−1)) dx\int \pi \left(- 2 \left(x - 1\right)^{2} + \left(x^{2} - 1\right)\right)\, dx = \pi \int \left(- 2 \left(x - 1\right)^{2} + \left(x^{2} - 1\right)\right)\, dx

    1. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−2(x−1)2) dx=−2∫(x−1)2 dx\int \left(- 2 \left(x - 1\right)^{2}\right)\, dx = - 2 \int \left(x - 1\right)^{2}\, dx

        1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

          Método #1

          1. que u=x−1u = x - 1.

            Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

            ∫u2 du\int u^{2}\, du

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫u2 du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

            Si ahora sustituir uu más en:

            (x−1)33\frac{\left(x - 1\right)^{3}}{3}

          Método #2

          1. Vuelva a escribir el integrando:

            (x−1)2=x2−2x+1\left(x - 1\right)^{2} = x^{2} - 2 x + 1

          2. Integramos término a término:

            1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫x2 dx=x33\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫(−2x) dx=−2∫x dx\int \left(- 2 x\right)\, dx = - 2 \int x\, dx

              1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                ∫x dx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

              Por lo tanto, el resultado es: −x2- x^{2}

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

              ∫1 dx=x\int 1\, dx = x

            El resultado es: x33−x2+x\frac{x^{3}}{3} - x^{2} + x

        Por lo tanto, el resultado es: −2(x−1)33- \frac{2 \left(x - 1\right)^{3}}{3}

      1. Integramos término a término:

        1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫x2 dx=x33\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}

        1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

          ∫(−1) dx=−x\int \left(-1\right)\, dx = - x

        El resultado es: x33−x\frac{x^{3}}{3} - x

      El resultado es: x33−x−2(x−1)33\frac{x^{3}}{3} - x - \frac{2 \left(x - 1\right)^{3}}{3}

    Por lo tanto, el resultado es: π(x33−x−2(x−1)33)\pi \left(\frac{x^{3}}{3} - x - \frac{2 \left(x - 1\right)^{3}}{3}\right)

  2. Ahora simplificar:

    π(−x3+6x2−9x+2)3\frac{\pi \left(- x^{3} + 6 x^{2} - 9 x + 2\right)}{3}

  3. Añadimos la constante de integración:

    π(−x3+6x2−9x+2)3+constant\frac{\pi \left(- x^{3} + 6 x^{2} - 9 x + 2\right)}{3}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

π(−x3+6x2−9x+2)3+constant\frac{\pi \left(- x^{3} + 6 x^{2} - 9 x + 2\right)}{3}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                           
 |                                      /              3    3\
 |    / 2                2\             |     2*(x - 1)    x |
 | pi*\x  - 1 - 2*(x - 1) / dx = C + pi*|-x - ---------- + --|
 |                                      \         3        3 /
/
∫π(−2(x−1)2+(x2−1)) dx=C+π(x33−x−2(x−1)33)\int \pi \left(- 2 \left(x - 1\right)^{2} + \left(x^{2} - 1\right)\right)\, dx = C + \pi \left(\frac{x^{3}}{3} - x - \frac{2 \left(x - 1\right)^{3}}{3}\right)
Simplificar
Gráfica
1.03.01.21.41.61.82.02.22.42.62.8-1010
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
4*pi
----
 3
4π3\frac{4 \pi}{3} 
=
= 
4*pi
----
 3
4π3\frac{4 \pi}{3} 
4*pi/3
Respuesta numérica [src] 
4.18879020478639
4.18879020478639

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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