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Resolución de integrales/ cos^5/ Sinx^3/ Sinx^3/cos^5x

Integral de Sinx^3/cos^5x dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1           
  /           
 |            
 |     3      
 |  sin (x)   
 |  ------- dx
 |     5      
 |  cos (x)   
 |            
/             
0
∫01sin⁡3(x)cos⁡5(x) dx\int\limits_{0}^{1} \frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{\cos^{5}{\left(x \right)}}\, dx 
Integral(sin(x)^3/cos(x)^5, (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Vuelva a escribir el integrando:

    sin⁡3(x)cos⁡5(x)=(1−cos⁡2(x))sin⁡(x)cos⁡5(x)\frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{\cos^{5}{\left(x \right)}} = \frac{\left(1 - \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x \right)}}{\cos^{5}{\left(x \right)}}

  2. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=cos⁡(x)u = \cos{\left(x \right)}.

      Luego que du=−sin⁡(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

      ∫u2−1u5 du\int \frac{u^{2} - 1}{u^{5}}\, du

      1. que u=u2u = u^{2}.

        Luego que du=2ududu = 2 u du y ponemos du2\frac{du}{2}:

        ∫u−12u3 du\int \frac{u - 1}{2 u^{3}}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫u−1u3 du=∫u−1u3 du2\int \frac{u - 1}{u^{3}}\, du = \frac{\int \frac{u - 1}{u^{3}}\, du}{2}

          1. Vuelva a escribir el integrando:

            u−1u3=1u2−1u3\frac{u - 1}{u^{3}} = \frac{1}{u^{2}} - \frac{1}{u^{3}}

          2. Integramos término a término:

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫1u2 du=−1u\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫(−1u3) du=−∫1u3 du\int \left(- \frac{1}{u^{3}}\right)\, du = - \int \frac{1}{u^{3}}\, du

              1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                ∫1u3 du=−12u2\int \frac{1}{u^{3}}\, du = - \frac{1}{2 u^{2}}

              Por lo tanto, el resultado es: 12u2\frac{1}{2 u^{2}}

            El resultado es: −1u+12u2- \frac{1}{u} + \frac{1}{2 u^{2}}

          Por lo tanto, el resultado es: −12u+14u2- \frac{1}{2 u} + \frac{1}{4 u^{2}}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −12u2+14u4- \frac{1}{2 u^{2}} + \frac{1}{4 u^{4}}

      Si ahora sustituir uu más en:

      −12cos⁡2(x)+14cos⁡4(x)- \frac{1}{2 \cos^{2}{\left(x \right)}} + \frac{1}{4 \cos^{4}{\left(x \right)}}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (1−cos⁡2(x))sin⁡(x)cos⁡5(x)=−sin⁡(x)cos⁡2(x)−sin⁡(x)cos⁡5(x)\frac{\left(1 - \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x \right)}}{\cos^{5}{\left(x \right)}} = - \frac{\sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)}}{\cos^{5}{\left(x \right)}}

    2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫(−sin⁡(x)cos⁡2(x)−sin⁡(x)cos⁡5(x)) dx=−∫sin⁡(x)cos⁡2(x)−sin⁡(x)cos⁡5(x) dx\int \left(- \frac{\sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)}}{\cos^{5}{\left(x \right)}}\right)\, dx = - \int \frac{\sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)}}{\cos^{5}{\left(x \right)}}\, dx

      1. que u=cos⁡(x)u = \cos{\left(x \right)}.

        Luego que du=−sin⁡(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx y ponemos −du- du:

        ∫(−u2−1u5) du\int \left(- \frac{u^{2} - 1}{u^{5}}\right)\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫u2−1u5 du=−∫u2−1u5 du\int \frac{u^{2} - 1}{u^{5}}\, du = - \int \frac{u^{2} - 1}{u^{5}}\, du

          1. que u=u2u = u^{2}.

            Luego que du=2ududu = 2 u du y ponemos du2\frac{du}{2}:

            ∫u−12u3 du\int \frac{u - 1}{2 u^{3}}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫u−1u3 du=∫u−1u3 du2\int \frac{u - 1}{u^{3}}\, du = \frac{\int \frac{u - 1}{u^{3}}\, du}{2}

              1. Vuelva a escribir el integrando:

                u−1u3=1u2−1u3\frac{u - 1}{u^{3}} = \frac{1}{u^{2}} - \frac{1}{u^{3}}

              2. Integramos término a término:

                1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                  ∫1u2 du=−1u\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}

                1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  ∫(−1u3) du=−∫1u3 du\int \left(- \frac{1}{u^{3}}\right)\, du = - \int \frac{1}{u^{3}}\, du

                  1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                    ∫1u3 du=−12u2\int \frac{1}{u^{3}}\, du = - \frac{1}{2 u^{2}}

                  Por lo tanto, el resultado es: 12u2\frac{1}{2 u^{2}}

                El resultado es: −1u+12u2- \frac{1}{u} + \frac{1}{2 u^{2}}

              Por lo tanto, el resultado es: −12u+14u2- \frac{1}{2 u} + \frac{1}{4 u^{2}}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −12u2+14u4- \frac{1}{2 u^{2}} + \frac{1}{4 u^{4}}

          Por lo tanto, el resultado es: 12u2−14u4\frac{1}{2 u^{2}} - \frac{1}{4 u^{4}}

        Si ahora sustituir uu más en:

        12cos⁡2(x)−14cos⁡4(x)\frac{1}{2 \cos^{2}{\left(x \right)}} - \frac{1}{4 \cos^{4}{\left(x \right)}}

      Por lo tanto, el resultado es: −12cos⁡2(x)+14cos⁡4(x)- \frac{1}{2 \cos^{2}{\left(x \right)}} + \frac{1}{4 \cos^{4}{\left(x \right)}}

    Método #3

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (1−cos⁡2(x))sin⁡(x)cos⁡5(x)=−sin⁡(x)cos⁡3(x)+sin⁡(x)cos⁡5(x)\frac{\left(1 - \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x \right)}}{\cos^{5}{\left(x \right)}} = - \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos^{3}{\left(x \right)}} + \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos^{5}{\left(x \right)}}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−sin⁡(x)cos⁡3(x)) dx=−∫sin⁡(x)cos⁡3(x) dx\int \left(- \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos^{3}{\left(x \right)}}\right)\, dx = - \int \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos^{3}{\left(x \right)}}\, dx

        1. que u=cos⁡(x)u = \cos{\left(x \right)}.

          Luego que du=−sin⁡(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx y ponemos −du- du:

          ∫(−1u3) du\int \left(- \frac{1}{u^{3}}\right)\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫1u3 du=−∫1u3 du\int \frac{1}{u^{3}}\, du = - \int \frac{1}{u^{3}}\, du

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫1u3 du=−12u2\int \frac{1}{u^{3}}\, du = - \frac{1}{2 u^{2}}

            Por lo tanto, el resultado es: 12u2\frac{1}{2 u^{2}}

          Si ahora sustituir uu más en:

          12cos⁡2(x)\frac{1}{2 \cos^{2}{\left(x \right)}}

        Por lo tanto, el resultado es: −12cos⁡2(x)- \frac{1}{2 \cos^{2}{\left(x \right)}}

      1. que u=cos⁡(x)u = \cos{\left(x \right)}.

        Luego que du=−sin⁡(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx y ponemos −du- du:

        ∫(−1u5) du\int \left(- \frac{1}{u^{5}}\right)\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫1u5 du=−∫1u5 du\int \frac{1}{u^{5}}\, du = - \int \frac{1}{u^{5}}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫1u5 du=−14u4\int \frac{1}{u^{5}}\, du = - \frac{1}{4 u^{4}}

          Por lo tanto, el resultado es: 14u4\frac{1}{4 u^{4}}

        Si ahora sustituir uu más en:

        14cos⁡4(x)\frac{1}{4 \cos^{4}{\left(x \right)}}

      El resultado es: −12cos⁡2(x)+14cos⁡4(x)- \frac{1}{2 \cos^{2}{\left(x \right)}} + \frac{1}{4 \cos^{4}{\left(x \right)}}

  3. Ahora simplificar:

    −cos⁡(2x)4cos⁡4(x)- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{4 \cos^{4}{\left(x \right)}}

  4. Añadimos la constante de integración:

    −cos⁡(2x)4cos⁡4(x)+constant- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{4 \cos^{4}{\left(x \right)}}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

−cos⁡(2x)4cos⁡4(x)+constant- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{4 \cos^{4}{\left(x \right)}}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                      
 |                                       
 |    3                                  
 | sin (x)              1           1    
 | ------- dx = C - --------- + ---------
 |    5                  2           4   
 | cos (x)          2*cos (x)   4*cos (x)
 |                                       
/
∫sin⁡3(x)cos⁡5(x) dx=C−12cos⁡2(x)+14cos⁡4(x)\int \frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{\cos^{5}{\left(x \right)}}\, dx = C - \frac{1}{2 \cos^{2}{\left(x \right)}} + \frac{1}{4 \cos^{4}{\left(x \right)}}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.9020-10
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
              2   
1   -1 + 2*cos (1)
- - --------------
4          4      
      4*cos (1)
14−−1+2cos⁡2(1)4cos⁡4(1)\frac{1}{4} - \frac{-1 + 2 \cos^{2}{\left(1 \right)}}{4 \cos^{4}{\left(1 \right)}} 
=
= 
              2   
1   -1 + 2*cos (1)
- - --------------
4          4      
      4*cos (1)
14−−1+2cos⁡2(1)4cos⁡4(1)\frac{1}{4} - \frac{-1 + 2 \cos^{2}{\left(1 \right)}}{4 \cos^{4}{\left(1 \right)}} 
1/4 - (-1 + 2*cos(1)^2)/(4*cos(1)^4)
Respuesta numérica [src] 
1.47078538753166
1.47078538753166

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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