Integral de 1/(2x+1)*1/sqrt(ln(2x+1)) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = 2 x + 1$.

      Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

      $\int \frac{1}{2 u \sqrt{\log{\left(u \right)}}}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{1}{u \sqrt{\log{\left(u \right)}}}\, du = \frac{\int \frac{1}{u \sqrt{\log{\left(u \right)}}}\, du}{2}$

         1. que $u = \frac{1}{u}$.

            Luego que $du = - \frac{du}{u^{2}}$ y ponemos $- du$:

            $\int \left(- \frac{1}{u \sqrt{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}}}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{1}{u \sqrt{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}}}\, du = - \int \frac{1}{u \sqrt{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}}}\, du$

               1. que $u = \log{\left(\frac{1}{u} \right)}$.

                  Luego que $du = - \frac{du}{u}$ y ponemos $- du$:

                  $\int \left(- \frac{1}{\sqrt{u}}\right)\, du$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = - \int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du$

                     1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                        $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = 2 \sqrt{u}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $- 2 \sqrt{u}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $- 2 \sqrt{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}}$

               Por lo tanto, el resultado es: $2 \sqrt{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $2 \sqrt{\log{\left(u \right)}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\sqrt{\log{\left(u \right)}}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\sqrt{\log{\left(2 x + 1 \right)}}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{1}{\left(2 x + 1\right) \sqrt{\log{\left(2 x + 1 \right)}}} = \frac{1}{2 x \sqrt{\log{\left(2 x + 1 \right)}} + \sqrt{\log{\left(2 x + 1 \right)}}}$

   2. que $u = \sqrt{\log{\left(2 x + 1 \right)}}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{\left(2 x + 1\right) \sqrt{\log{\left(2 x + 1 \right)}}}$ y ponemos $du$:

      $\int 1\, du$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 1\, du = u$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\sqrt{\log{\left(2 x + 1 \right)}}$

   Método #3

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{1}{\left(2 x + 1\right) \sqrt{\log{\left(2 x + 1 \right)}}} = \frac{1}{2 x \sqrt{\log{\left(2 x + 1 \right)}} + \sqrt{\log{\left(2 x + 1 \right)}}}$

   2. que $u = \sqrt{\log{\left(2 x + 1 \right)}}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{\left(2 x + 1\right) \sqrt{\log{\left(2 x + 1 \right)}}}$ y ponemos $du$:

      $\int 1\, du$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 1\, du = u$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\sqrt{\log{\left(2 x + 1 \right)}}$

2. Ahora simplificar:

   $\sqrt{\log{\left(2 x + 1 \right)}}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\sqrt{\log{\left(2 x + 1 \right)}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\sqrt{\log{\left(2 x + 1 \right)}}+ \mathrm{constant}$