Integral de (4x-3)sin(x/2)dx dx
Solución
Solución detallada
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Hay varias maneras de calcular esta integral.
Método #1
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Vuelva a escribir el integrando:
(4x−3)sin(2x)=4xsin(2x)−3sin(2x)
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Integramos término a término:
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La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫4xsin(2x)dx=4∫xsin(2x)dx
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Usamos la integración por partes:
∫udv=uv−∫vdu
que u(x)=x y que dv(x)=sin(2x).
Entonces du(x)=1.
Para buscar v(x):
-
que u=2x.
Luego que du=2dx y ponemos 2du:
∫2sin(u)du
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La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫sin(u)du=2∫sin(u)du
-
La integral del seno es un coseno menos:
∫sin(u)du=−cos(u)
Por lo tanto, el resultado es: −2cos(u)
Si ahora sustituir u más en:
−2cos(2x)
Ahora resolvemos podintegral.
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La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫(−2cos(2x))dx=−2∫cos(2x)dx
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que u=2x.
Luego que du=2dx y ponemos 2du:
∫2cos(u)du
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La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫cos(u)du=2∫cos(u)du
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La integral del coseno es seno:
∫cos(u)du=sin(u)
Por lo tanto, el resultado es: 2sin(u)
Si ahora sustituir u más en:
2sin(2x)
Por lo tanto, el resultado es: −4sin(2x)
Por lo tanto, el resultado es: −8xcos(2x)+16sin(2x)
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La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫(−3sin(2x))dx=−3∫sin(2x)dx
-
que u=2x.
Luego que du=2dx y ponemos 2du:
∫2sin(u)du
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La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫sin(u)du=2∫sin(u)du
-
La integral del seno es un coseno menos:
∫sin(u)du=−cos(u)
Por lo tanto, el resultado es: −2cos(u)
Si ahora sustituir u más en:
−2cos(2x)
Por lo tanto, el resultado es: 6cos(2x)
El resultado es: −8xcos(2x)+16sin(2x)+6cos(2x)
Método #2
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Usamos la integración por partes:
∫udv=uv−∫vdu
que u(x)=4x−3 y que dv(x)=sin(2x).
Entonces du(x)=4.
Para buscar v(x):
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que u=2x.
Luego que du=2dx y ponemos 2du:
∫2sin(u)du
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La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫sin(u)du=2∫sin(u)du
-
La integral del seno es un coseno menos:
∫sin(u)du=−cos(u)
Por lo tanto, el resultado es: −2cos(u)
Si ahora sustituir u más en:
−2cos(2x)
Ahora resolvemos podintegral.
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La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫(−8cos(2x))dx=−8∫cos(2x)dx
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que u=2x.
Luego que du=2dx y ponemos 2du:
∫2cos(u)du
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La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫cos(u)du=2∫cos(u)du
-
La integral del coseno es seno:
∫cos(u)du=sin(u)
Por lo tanto, el resultado es: 2sin(u)
Si ahora sustituir u más en:
2sin(2x)
Por lo tanto, el resultado es: −16sin(2x)
Método #3
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Vuelva a escribir el integrando:
(4x−3)sin(2x)=4xsin(2x)−3sin(2x)
-
Integramos término a término:
-
La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫4xsin(2x)dx=4∫xsin(2x)dx
-
Usamos la integración por partes:
∫udv=uv−∫vdu
que u(x)=x y que dv(x)=sin(2x).
Entonces du(x)=1.
Para buscar v(x):
-
que u=2x.
Luego que du=2dx y ponemos 2du:
∫2sin(u)du
-
La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫sin(u)du=2∫sin(u)du
-
La integral del seno es un coseno menos:
∫sin(u)du=−cos(u)
Por lo tanto, el resultado es: −2cos(u)
Si ahora sustituir u más en:
−2cos(2x)
Ahora resolvemos podintegral.
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La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫(−2cos(2x))dx=−2∫cos(2x)dx
-
que u=2x.
Luego que du=2dx y ponemos 2du:
∫2cos(u)du
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La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫cos(u)du=2∫cos(u)du
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La integral del coseno es seno:
∫cos(u)du=sin(u)
Por lo tanto, el resultado es: 2sin(u)
Si ahora sustituir u más en:
2sin(2x)
Por lo tanto, el resultado es: −4sin(2x)
Por lo tanto, el resultado es: −8xcos(2x)+16sin(2x)
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La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫(−3sin(2x))dx=−3∫sin(2x)dx
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que u=2x.
Luego que du=2dx y ponemos 2du:
∫2sin(u)du
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La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫sin(u)du=2∫sin(u)du
-
La integral del seno es un coseno menos:
∫sin(u)du=−cos(u)
Por lo tanto, el resultado es: −2cos(u)
Si ahora sustituir u más en:
−2cos(2x)
Por lo tanto, el resultado es: 6cos(2x)
El resultado es: −8xcos(2x)+16sin(2x)+6cos(2x)
-
Añadimos la constante de integración:
−8xcos(2x)+16sin(2x)+6cos(2x)+constant
Respuesta:
−8xcos(2x)+16sin(2x)+6cos(2x)+constant
Respuesta (Indefinida)
[src]
/
|
| /x\ /x\ /x\ /x\
| (4*x - 3)*sin|-| dx = C + 6*cos|-| + 16*sin|-| - 8*x*cos|-|
| \2/ \2/ \2/ \2/
|
/
∫(4x−3)sin(2x)dx=C−8xcos(2x)+16sin(2x)+6cos(2x)
Gráfica
-6 - 2*cos(1/2) + 16*sin(1/2)
−6−2cos(21)+16sin(21)
=
-6 - 2*cos(1/2) + 16*sin(1/2)
−6−2cos(21)+16sin(21)
-6 - 2*cos(1/2) + 16*sin(1/2)
Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.