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Integral de (4x-3)sin(x/2)dx dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
  1                    
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 |                     
 |               /x\   
 |  (4*x - 3)*sin|-| dx
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 |                     
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0                      
01(4x3)sin(x2)dx\int\limits_{0}^{1} \left(4 x - 3\right) \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}\, dx
Integral((4*x - 3)*sin(x/2), (x, 0, 1))
Solución detallada
  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (4x3)sin(x2)=4xsin(x2)3sin(x2)\left(4 x - 3\right) \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} = 4 x \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} - 3 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        4xsin(x2)dx=4xsin(x2)dx\int 4 x \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}\, dx = 4 \int x \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}\, dx

        1. Usamos la integración por partes:

          udv=uvvdu\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=xu{\left(x \right)} = x y que dv(x)=sin(x2)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}.

          Entonces du(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. que u=x2u = \frac{x}{2}.

            Luego que du=dx2du = \frac{dx}{2} y ponemos 2du2 du:

            2sin(u)du\int 2 \sin{\left(u \right)}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              sin(u)du=2sin(u)du\int \sin{\left(u \right)}\, du = 2 \int \sin{\left(u \right)}\, du

              1. La integral del seno es un coseno menos:

                sin(u)du=cos(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: 2cos(u)- 2 \cos{\left(u \right)}

            Si ahora sustituir uu más en:

            2cos(x2)- 2 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          (2cos(x2))dx=2cos(x2)dx\int \left(- 2 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\right)\, dx = - 2 \int \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\, dx

          1. que u=x2u = \frac{x}{2}.

            Luego que du=dx2du = \frac{dx}{2} y ponemos 2du2 du:

            2cos(u)du\int 2 \cos{\left(u \right)}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              cos(u)du=2cos(u)du\int \cos{\left(u \right)}\, du = 2 \int \cos{\left(u \right)}\, du

              1. La integral del coseno es seno:

                cos(u)du=sin(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: 2sin(u)2 \sin{\left(u \right)}

            Si ahora sustituir uu más en:

            2sin(x2)2 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: 4sin(x2)- 4 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: 8xcos(x2)+16sin(x2)- 8 x \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} + 16 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        (3sin(x2))dx=3sin(x2)dx\int \left(- 3 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}\right)\, dx = - 3 \int \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}\, dx

        1. que u=x2u = \frac{x}{2}.

          Luego que du=dx2du = \frac{dx}{2} y ponemos 2du2 du:

          2sin(u)du\int 2 \sin{\left(u \right)}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            sin(u)du=2sin(u)du\int \sin{\left(u \right)}\, du = 2 \int \sin{\left(u \right)}\, du

            1. La integral del seno es un coseno menos:

              sin(u)du=cos(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: 2cos(u)- 2 \cos{\left(u \right)}

          Si ahora sustituir uu más en:

          2cos(x2)- 2 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: 6cos(x2)6 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}

      El resultado es: 8xcos(x2)+16sin(x2)+6cos(x2)- 8 x \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} + 16 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} + 6 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}

    Método #2

    1. Usamos la integración por partes:

      udv=uvvdu\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      que u(x)=4x3u{\left(x \right)} = 4 x - 3 y que dv(x)=sin(x2)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}.

      Entonces du(x)=4\operatorname{du}{\left(x \right)} = 4.

      Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

      1. que u=x2u = \frac{x}{2}.

        Luego que du=dx2du = \frac{dx}{2} y ponemos 2du2 du:

        2sin(u)du\int 2 \sin{\left(u \right)}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          sin(u)du=2sin(u)du\int \sin{\left(u \right)}\, du = 2 \int \sin{\left(u \right)}\, du

          1. La integral del seno es un coseno menos:

            sin(u)du=cos(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: 2cos(u)- 2 \cos{\left(u \right)}

        Si ahora sustituir uu más en:

        2cos(x2)- 2 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}

      Ahora resolvemos podintegral.

    2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      (8cos(x2))dx=8cos(x2)dx\int \left(- 8 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\right)\, dx = - 8 \int \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\, dx

      1. que u=x2u = \frac{x}{2}.

        Luego que du=dx2du = \frac{dx}{2} y ponemos 2du2 du:

        2cos(u)du\int 2 \cos{\left(u \right)}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          cos(u)du=2cos(u)du\int \cos{\left(u \right)}\, du = 2 \int \cos{\left(u \right)}\, du

          1. La integral del coseno es seno:

            cos(u)du=sin(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: 2sin(u)2 \sin{\left(u \right)}

        Si ahora sustituir uu más en:

        2sin(x2)2 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}

      Por lo tanto, el resultado es: 16sin(x2)- 16 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}

    Método #3

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (4x3)sin(x2)=4xsin(x2)3sin(x2)\left(4 x - 3\right) \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} = 4 x \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} - 3 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        4xsin(x2)dx=4xsin(x2)dx\int 4 x \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}\, dx = 4 \int x \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}\, dx

        1. Usamos la integración por partes:

          udv=uvvdu\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=xu{\left(x \right)} = x y que dv(x)=sin(x2)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}.

          Entonces du(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. que u=x2u = \frac{x}{2}.

            Luego que du=dx2du = \frac{dx}{2} y ponemos 2du2 du:

            2sin(u)du\int 2 \sin{\left(u \right)}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              sin(u)du=2sin(u)du\int \sin{\left(u \right)}\, du = 2 \int \sin{\left(u \right)}\, du

              1. La integral del seno es un coseno menos:

                sin(u)du=cos(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: 2cos(u)- 2 \cos{\left(u \right)}

            Si ahora sustituir uu más en:

            2cos(x2)- 2 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          (2cos(x2))dx=2cos(x2)dx\int \left(- 2 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\right)\, dx = - 2 \int \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\, dx

          1. que u=x2u = \frac{x}{2}.

            Luego que du=dx2du = \frac{dx}{2} y ponemos 2du2 du:

            2cos(u)du\int 2 \cos{\left(u \right)}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              cos(u)du=2cos(u)du\int \cos{\left(u \right)}\, du = 2 \int \cos{\left(u \right)}\, du

              1. La integral del coseno es seno:

                cos(u)du=sin(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: 2sin(u)2 \sin{\left(u \right)}

            Si ahora sustituir uu más en:

            2sin(x2)2 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: 4sin(x2)- 4 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: 8xcos(x2)+16sin(x2)- 8 x \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} + 16 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        (3sin(x2))dx=3sin(x2)dx\int \left(- 3 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}\right)\, dx = - 3 \int \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}\, dx

        1. que u=x2u = \frac{x}{2}.

          Luego que du=dx2du = \frac{dx}{2} y ponemos 2du2 du:

          2sin(u)du\int 2 \sin{\left(u \right)}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            sin(u)du=2sin(u)du\int \sin{\left(u \right)}\, du = 2 \int \sin{\left(u \right)}\, du

            1. La integral del seno es un coseno menos:

              sin(u)du=cos(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: 2cos(u)- 2 \cos{\left(u \right)}

          Si ahora sustituir uu más en:

          2cos(x2)- 2 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: 6cos(x2)6 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}

      El resultado es: 8xcos(x2)+16sin(x2)+6cos(x2)- 8 x \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} + 16 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} + 6 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}

  2. Añadimos la constante de integración:

    8xcos(x2)+16sin(x2)+6cos(x2)+constant- 8 x \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} + 16 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} + 6 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}+ \mathrm{constant}


Respuesta:

8xcos(x2)+16sin(x2)+6cos(x2)+constant- 8 x \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} + 16 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} + 6 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src]
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 |              /x\               /x\         /x\          /x\
 | (4*x - 3)*sin|-| dx = C + 6*cos|-| + 16*sin|-| - 8*x*cos|-|
 |              \2/               \2/         \2/          \2/
 |                                                            
/                                                             
(4x3)sin(x2)dx=C8xcos(x2)+16sin(x2)+6cos(x2)\int \left(4 x - 3\right) \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}\, dx = C - 8 x \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} + 16 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} + 6 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.90-510
Respuesta [src]
-6 - 2*cos(1/2) + 16*sin(1/2)
62cos(12)+16sin(12)-6 - 2 \cos{\left(\frac{1}{2} \right)} + 16 \sin{\left(\frac{1}{2} \right)}
=
=
-6 - 2*cos(1/2) + 16*sin(1/2)
62cos(12)+16sin(12)-6 - 2 \cos{\left(\frac{1}{2} \right)} + 16 \sin{\left(\frac{1}{2} \right)}
-6 - 2*cos(1/2) + 16*sin(1/2)
Respuesta numérica [src]
-0.0843565061134974
-0.0843565061134974

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.