Integral de sin(5*x)+tg(2-x) dx

1. Integramos término a término:

   1. que $u = 5 x$.

      Luego que $du = 5 dx$ y ponemos $\frac{du}{5}$:

      $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{5}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{5}$

         1. La integral del seno es un coseno menos:

            $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\cos{\left(u \right)}}{5}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{\cos{\left(5 x \right)}}{5}$

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\tan{\left(2 - x \right)} = - \frac{\sin{\left(x - 2 \right)}}{\cos{\left(x - 2 \right)}}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- \frac{\sin{\left(x - 2 \right)}}{\cos{\left(x - 2 \right)}}\right)\, dx = - \int \frac{\sin{\left(x - 2 \right)}}{\cos{\left(x - 2 \right)}}\, dx$

      1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

         Método #1

         1. que $u = \cos{\left(x - 2 \right)}$.

            Luego que $du = - \sin{\left(x - 2 \right)} dx$ y ponemos $- du$:

            $\int \left(- \frac{1}{u}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{1}{u}\, du = - \int \frac{1}{u}\, du$

               1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

               Por lo tanto, el resultado es: $- \log{\left(u \right)}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \log{\left(\cos{\left(x - 2 \right)} \right)}$

         Método #2

         1. que $u = x - 2$.

            Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

            $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{\cos{\left(u \right)}}\, du$

            1. que $u = \cos{\left(u \right)}$.

               Luego que $du = - \sin{\left(u \right)} du$ y ponemos $- du$:

               $\int \left(- \frac{1}{u}\right)\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \frac{1}{u}\, du = - \int \frac{1}{u}\, du$

                  1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \log{\left(u \right)}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $- \log{\left(\cos{\left(u \right)} \right)}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \log{\left(\cos{\left(x - 2 \right)} \right)}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\log{\left(\cos{\left(x - 2 \right)} \right)}$

   El resultado es: $\log{\left(\cos{\left(x - 2 \right)} \right)} - \frac{\cos{\left(5 x \right)}}{5}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\log{\left(\cos{\left(x - 2 \right)} \right)} - \frac{\cos{\left(5 x \right)}}{5}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\log{\left(\cos{\left(x - 2 \right)} \right)} - \frac{\cos{\left(5 x \right)}}{5}+ \mathrm{constant}$