Integral de (5x+3)*exp(4x) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(5 x + 3\right) e^{4 x} = 5 x e^{4 x} + 3 e^{4 x}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 5 x e^{4 x}\, dx = 5 \int x e^{4 x}\, dx$

         1. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(x \right)} = x$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{4 x}$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1$.

            Para buscar $v{\left(x \right)}$:

            1. que $u = 4 x$.

               Luego que $du = 4 dx$ y ponemos $\frac{du}{4}$:

               $\int \frac{e^{u}}{4}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\text{False}$

                  1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                     $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{4}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{e^{4 x}}{4}$

            Ahora resolvemos podintegral.

         2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{e^{4 x}}{4}\, dx = \frac{\int e^{4 x}\, dx}{4}$

            1. que $u = 4 x$.

               Luego que $du = 4 dx$ y ponemos $\frac{du}{4}$:

               $\int \frac{e^{u}}{4}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\text{False}$

                  1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                     $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{4}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{e^{4 x}}{4}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{4 x}}{16}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{5 x e^{4 x}}{4} - \frac{5 e^{4 x}}{16}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 3 e^{4 x}\, dx = 3 \int e^{4 x}\, dx$

         1. que $u = 4 x$.

            Luego que $du = 4 dx$ y ponemos $\frac{du}{4}$:

            $\int \frac{e^{u}}{4}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\text{False}$

               1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{4}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{e^{4 x}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 e^{4 x}}{4}$

      El resultado es: $\frac{5 x e^{4 x}}{4} + \frac{7 e^{4 x}}{16}$

   Método #2

   1. Usamos la integración por partes:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      que $u{\left(x \right)} = 5 x + 3$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{4 x}$.

      Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 5$.

      Para buscar $v{\left(x \right)}$:

      1. que $u = 4 x$.

         Luego que $du = 4 dx$ y ponemos $\frac{du}{4}$:

         $\int \frac{e^{u}}{4}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\text{False}$

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{4}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{e^{4 x}}{4}$

      Ahora resolvemos podintegral.

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{5 e^{4 x}}{4}\, dx = \frac{5 \int e^{4 x}\, dx}{4}$

      1. que $u = 4 x$.

         Luego que $du = 4 dx$ y ponemos $\frac{du}{4}$:

         $\int \frac{e^{u}}{4}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\text{False}$

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{4}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{e^{4 x}}{4}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{5 e^{4 x}}{16}$

   Método #3

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(5 x + 3\right) e^{4 x} = 5 x e^{4 x} + 3 e^{4 x}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 5 x e^{4 x}\, dx = 5 \int x e^{4 x}\, dx$

         1. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(x \right)} = x$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{4 x}$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1$.

            Para buscar $v{\left(x \right)}$:

            1. que $u = 4 x$.

               Luego que $du = 4 dx$ y ponemos $\frac{du}{4}$:

               $\int \frac{e^{u}}{4}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\text{False}$

                  1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                     $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{4}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{e^{4 x}}{4}$

            Ahora resolvemos podintegral.

         2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{e^{4 x}}{4}\, dx = \frac{\int e^{4 x}\, dx}{4}$

            1. que $u = 4 x$.

               Luego que $du = 4 dx$ y ponemos $\frac{du}{4}$:

               $\int \frac{e^{u}}{4}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\text{False}$

                  1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                     $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{4}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{e^{4 x}}{4}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{4 x}}{16}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{5 x e^{4 x}}{4} - \frac{5 e^{4 x}}{16}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 3 e^{4 x}\, dx = 3 \int e^{4 x}\, dx$

         1. que $u = 4 x$.

            Luego que $du = 4 dx$ y ponemos $\frac{du}{4}$:

            $\int \frac{e^{u}}{4}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\text{False}$

               1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{4}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{e^{4 x}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 e^{4 x}}{4}$

      El resultado es: $\frac{5 x e^{4 x}}{4} + \frac{7 e^{4 x}}{16}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{\left(20 x + 7\right) e^{4 x}}{16}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\left(20 x + 7\right) e^{4 x}}{16}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\left(20 x + 7\right) e^{4 x}}{16}+ \mathrm{constant}$