Integral de (5x-3)/(sqrt(2x^2+1)) dx

1. Vuelva a escribir el integrando:

   $\frac{5 x - 3}{\sqrt{2 x^{2} + 1}} = \frac{5 x}{\sqrt{2 x^{2} + 1}} - \frac{3}{\sqrt{2 x^{2} + 1}}$

2. Integramos término a término:

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{5 x}{\sqrt{2 x^{2} + 1}}\, dx = 5 \int \frac{x}{\sqrt{2 x^{2} + 1}}\, dx$

      1. que $u = 2 x^{2} + 1$.

         Luego que $du = 4 x dx$ y ponemos $\frac{du}{4}$:

         $\int \frac{1}{4 \sqrt{u}}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = \frac{\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du}{4}$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = 2 \sqrt{u}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sqrt{u}}{2}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{\sqrt{2 x^{2} + 1}}{2}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{5 \sqrt{2 x^{2} + 1}}{2}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- \frac{3}{\sqrt{2 x^{2} + 1}}\right)\, dx = - 3 \int \frac{1}{\sqrt{2 x^{2} + 1}}\, dx$

      1. que $u = \sqrt{2} x$.

         Luego que $du = \sqrt{2} dx$ y ponemos $\frac{\sqrt{2} du}{2}$:

         $\int \frac{1}{2 \sqrt{u^{2} + 1}}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{u^{2} + 1}}\, du = \frac{\sqrt{2} \int \frac{1}{\sqrt{u^{2} + 1}}\, du}{2}$

            InverseHyperbolicRule(func=asinh, context=1/sqrt(_u**2 + 1), symbol=_u)

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sqrt{2} \operatorname{asinh}{\left(u \right)}}{2}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{\sqrt{2} \operatorname{asinh}{\left(\sqrt{2} x \right)}}{2}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{3 \sqrt{2} \operatorname{asinh}{\left(\sqrt{2} x \right)}}{2}$

   El resultado es: $\frac{5 \sqrt{2 x^{2} + 1}}{2} - \frac{3 \sqrt{2} \operatorname{asinh}{\left(\sqrt{2} x \right)}}{2}$

3. Ahora simplificar:

   $\frac{5 \sqrt{2 x^{2} + 1}}{2} - \frac{3 \sqrt{2} \operatorname{asinh}{\left(\sqrt{2} x \right)}}{2}$

4. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{5 \sqrt{2 x^{2} + 1}}{2} - \frac{3 \sqrt{2} \operatorname{asinh}{\left(\sqrt{2} x \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{5 \sqrt{2 x^{2} + 1}}{2} - \frac{3 \sqrt{2} \operatorname{asinh}{\left(\sqrt{2} x \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$