Integral de (x^4-3x)ln((x^3)) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(x^{4} - 3 x\right) \log{\left(x^{3} \right)} = x^{4} \log{\left(x^{3} \right)} - 3 x \log{\left(x^{3} \right)}$

   2. Integramos término a término:

      1. Usamos la integración por partes:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         que $u{\left(x \right)} = \log{\left(x^{3} \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = x^{4}$.

         Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{3}{x}$.

         Para buscar $v{\left(x \right)}$:

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

         Ahora resolvemos podintegral.

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{3 x^{4}}{5}\, dx = \frac{3 \int x^{4}\, dx}{5}$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 x^{5}}{25}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 3 x \log{\left(x^{3} \right)}\right)\, dx = - 3 \int x \log{\left(x^{3} \right)}\, dx$

         1. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(x \right)} = \log{\left(x^{3} \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = x$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{3}{x}$.

            Para buscar $v{\left(x \right)}$:

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

            Ahora resolvemos podintegral.

         2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{3 x}{2}\, dx = \frac{3 \int x\, dx}{2}$

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 x^{2}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{3 x^{2} \log{\left(x^{3} \right)}}{2} + \frac{9 x^{2}}{4}$

      El resultado es: $\frac{x^{5} \log{\left(x^{3} \right)}}{5} - \frac{3 x^{5}}{25} - \frac{3 x^{2} \log{\left(x^{3} \right)}}{2} + \frac{9 x^{2}}{4}$

   Método #2

   1. Usamos la integración por partes:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      que $u{\left(x \right)} = \log{\left(x^{3} \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = x^{4} - 3 x$.

      Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{3}{x}$.

      Para buscar $v{\left(x \right)}$:

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $x \left(x^{3} - 3\right) = x^{4} - 3 x$

      2. Integramos término a término:

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- 3 x\right)\, dx = - 3 \int x\, dx$

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{3 x^{2}}{2}$

         El resultado es: $\frac{x^{5}}{5} - \frac{3 x^{2}}{2}$

      Ahora resolvemos podintegral.

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{3 \left(\frac{x^{5}}{5} - \frac{3 x^{2}}{2}\right)}{x}\, dx = 3 \int \frac{\frac{x^{5}}{5} - \frac{3 x^{2}}{2}}{x}\, dx$

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{\frac{x^{5}}{5} - \frac{3 x^{2}}{2}}{x} = \frac{x^{4}}{5} - \frac{3 x}{2}$

      2. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{x^{4}}{5}\, dx = \frac{\int x^{4}\, dx}{5}$

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x^{5}}{25}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- \frac{3 x}{2}\right)\, dx = - \frac{3 \int x\, dx}{2}$

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{3 x^{2}}{4}$

         El resultado es: $\frac{x^{5}}{25} - \frac{3 x^{2}}{4}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 x^{5}}{25} - \frac{9 x^{2}}{4}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{x^{2} \left(20 x^{3} \log{\left(x^{3} \right)} - 12 x^{3} - 150 \log{\left(x^{3} \right)} + 225\right)}{100}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{x^{2} \left(20 x^{3} \log{\left(x^{3} \right)} - 12 x^{3} - 150 \log{\left(x^{3} \right)} + 225\right)}{100}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{x^{2} \left(20 x^{3} \log{\left(x^{3} \right)} - 12 x^{3} - 150 \log{\left(x^{3} \right)} + 225\right)}{100}+ \mathrm{constant}$