Sr Examen

Otras calculadoras

Resolución de integrales/ (3x+4)/ cos⁡(pi*x/10)(3x+4)*2*pi

Integral de cos⁡(pi*x/10)(3x+4)*2*pi dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  5                            
  /                            
 |                             
 |     /pi*x\                  
 |  cos|----|*(3*x + 4)*2*pi dx
 |     \ 10 /                  
 |                             
/                              
0
∫05π2(3x+4)cos⁡(πx10) dx\int\limits_{0}^{5} \pi 2 \left(3 x + 4\right) \cos{\left(\frac{\pi x}{10} \right)}\, dx 
Integral(((cos((pi*x)/10)*(3*x + 4))*2)*pi, (x, 0, 5))
Solución detallada

  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

    ∫π2(3x+4)cos⁡(πx10) dx=π∫2(3x+4)cos⁡(πx10) dx\int \pi 2 \left(3 x + 4\right) \cos{\left(\frac{\pi x}{10} \right)}\, dx = \pi \int 2 \left(3 x + 4\right) \cos{\left(\frac{\pi x}{10} \right)}\, dx

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫2(3x+4)cos⁡(πx10) dx=2∫(3x+4)cos⁡(πx10) dx\int 2 \left(3 x + 4\right) \cos{\left(\frac{\pi x}{10} \right)}\, dx = 2 \int \left(3 x + 4\right) \cos{\left(\frac{\pi x}{10} \right)}\, dx

      1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

        Método #1

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          (3x+4)cos⁡(πx10)=3xcos⁡(πx10)+4cos⁡(πx10)\left(3 x + 4\right) \cos{\left(\frac{\pi x}{10} \right)} = 3 x \cos{\left(\frac{\pi x}{10} \right)} + 4 \cos{\left(\frac{\pi x}{10} \right)}

        2. Integramos término a término:

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫3xcos⁡(πx10) dx=3∫xcos⁡(πx10) dx\int 3 x \cos{\left(\frac{\pi x}{10} \right)}\, dx = 3 \int x \cos{\left(\frac{\pi x}{10} \right)}\, dx

            1. Usamos la integración por partes:

              ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

              que u(x)=xu{\left(x \right)} = x y que dv⁡(x)=cos⁡(πx10)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(\frac{\pi x}{10} \right)}.

              Entonces du⁡(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

              Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

              1. que u=πx10u = \frac{\pi x}{10}.

                Luego que du=πdx10du = \frac{\pi dx}{10} y ponemos 10duπ\frac{10 du}{\pi}:

                ∫10cos⁡(u)π du\int \frac{10 \cos{\left(u \right)}}{\pi}\, du

                1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  ∫cos⁡(u) du=10∫cos⁡(u) duπ\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{10 \int \cos{\left(u \right)}\, du}{\pi}

                  1. La integral del coseno es seno:

                    ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                  Por lo tanto, el resultado es: 10sin⁡(u)π\frac{10 \sin{\left(u \right)}}{\pi}

                Si ahora sustituir uu más en:

                10sin⁡(πx10)π\frac{10 \sin{\left(\frac{\pi x}{10} \right)}}{\pi}

              Ahora resolvemos podintegral.

            2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫10sin⁡(πx10)π dx=10∫sin⁡(πx10) dxπ\int \frac{10 \sin{\left(\frac{\pi x}{10} \right)}}{\pi}\, dx = \frac{10 \int \sin{\left(\frac{\pi x}{10} \right)}\, dx}{\pi}

              1. que u=πx10u = \frac{\pi x}{10}.

                Luego que du=πdx10du = \frac{\pi dx}{10} y ponemos 10duπ\frac{10 du}{\pi}:

                ∫10sin⁡(u)π du\int \frac{10 \sin{\left(u \right)}}{\pi}\, du

                1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  ∫sin⁡(u) du=10∫sin⁡(u) duπ\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{10 \int \sin{\left(u \right)}\, du}{\pi}

                  1. La integral del seno es un coseno menos:

                    ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

                  Por lo tanto, el resultado es: −10cos⁡(u)π- \frac{10 \cos{\left(u \right)}}{\pi}

                Si ahora sustituir uu más en:

                −10cos⁡(πx10)π- \frac{10 \cos{\left(\frac{\pi x}{10} \right)}}{\pi}

              Por lo tanto, el resultado es: −100cos⁡(πx10)π2- \frac{100 \cos{\left(\frac{\pi x}{10} \right)}}{\pi^{2}}

            Por lo tanto, el resultado es: 30xsin⁡(πx10)π+300cos⁡(πx10)π2\frac{30 x \sin{\left(\frac{\pi x}{10} \right)}}{\pi} + \frac{300 \cos{\left(\frac{\pi x}{10} \right)}}{\pi^{2}}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫4cos⁡(πx10) dx=4∫cos⁡(πx10) dx\int 4 \cos{\left(\frac{\pi x}{10} \right)}\, dx = 4 \int \cos{\left(\frac{\pi x}{10} \right)}\, dx

            1. que u=πx10u = \frac{\pi x}{10}.

              Luego que du=πdx10du = \frac{\pi dx}{10} y ponemos 10duπ\frac{10 du}{\pi}:

              ∫10cos⁡(u)π du\int \frac{10 \cos{\left(u \right)}}{\pi}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫cos⁡(u) du=10∫cos⁡(u) duπ\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{10 \int \cos{\left(u \right)}\, du}{\pi}

                1. La integral del coseno es seno:

                  ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                Por lo tanto, el resultado es: 10sin⁡(u)π\frac{10 \sin{\left(u \right)}}{\pi}

              Si ahora sustituir uu más en:

              10sin⁡(πx10)π\frac{10 \sin{\left(\frac{\pi x}{10} \right)}}{\pi}

            Por lo tanto, el resultado es: 40sin⁡(πx10)π\frac{40 \sin{\left(\frac{\pi x}{10} \right)}}{\pi}

          El resultado es: 30xsin⁡(πx10)π+40sin⁡(πx10)π+300cos⁡(πx10)π2\frac{30 x \sin{\left(\frac{\pi x}{10} \right)}}{\pi} + \frac{40 \sin{\left(\frac{\pi x}{10} \right)}}{\pi} + \frac{300 \cos{\left(\frac{\pi x}{10} \right)}}{\pi^{2}}

        Método #2

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=3x+4u{\left(x \right)} = 3 x + 4 y que dv⁡(x)=cos⁡(πx10)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(\frac{\pi x}{10} \right)}.

          Entonces du⁡(x)=3\operatorname{du}{\left(x \right)} = 3.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. que u=πx10u = \frac{\pi x}{10}.

            Luego que du=πdx10du = \frac{\pi dx}{10} y ponemos 10duπ\frac{10 du}{\pi}:

            ∫10cos⁡(u)π du\int \frac{10 \cos{\left(u \right)}}{\pi}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫cos⁡(u) du=10∫cos⁡(u) duπ\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{10 \int \cos{\left(u \right)}\, du}{\pi}

              1. La integral del coseno es seno:

                ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: 10sin⁡(u)π\frac{10 \sin{\left(u \right)}}{\pi}

            Si ahora sustituir uu más en:

            10sin⁡(πx10)π\frac{10 \sin{\left(\frac{\pi x}{10} \right)}}{\pi}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫30sin⁡(πx10)π dx=30∫sin⁡(πx10) dxπ\int \frac{30 \sin{\left(\frac{\pi x}{10} \right)}}{\pi}\, dx = \frac{30 \int \sin{\left(\frac{\pi x}{10} \right)}\, dx}{\pi}

          1. que u=πx10u = \frac{\pi x}{10}.

            Luego que du=πdx10du = \frac{\pi dx}{10} y ponemos 10duπ\frac{10 du}{\pi}:

            ∫10sin⁡(u)π du\int \frac{10 \sin{\left(u \right)}}{\pi}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫sin⁡(u) du=10∫sin⁡(u) duπ\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{10 \int \sin{\left(u \right)}\, du}{\pi}

              1. La integral del seno es un coseno menos:

                ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: −10cos⁡(u)π- \frac{10 \cos{\left(u \right)}}{\pi}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −10cos⁡(πx10)π- \frac{10 \cos{\left(\frac{\pi x}{10} \right)}}{\pi}

          Por lo tanto, el resultado es: −300cos⁡(πx10)π2- \frac{300 \cos{\left(\frac{\pi x}{10} \right)}}{\pi^{2}}

        Método #3

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          (3x+4)cos⁡(πx10)=3xcos⁡(πx10)+4cos⁡(πx10)\left(3 x + 4\right) \cos{\left(\frac{\pi x}{10} \right)} = 3 x \cos{\left(\frac{\pi x}{10} \right)} + 4 \cos{\left(\frac{\pi x}{10} \right)}

        2. Integramos término a término:

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫3xcos⁡(πx10) dx=3∫xcos⁡(πx10) dx\int 3 x \cos{\left(\frac{\pi x}{10} \right)}\, dx = 3 \int x \cos{\left(\frac{\pi x}{10} \right)}\, dx

            1. Usamos la integración por partes:

              ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

              que u(x)=xu{\left(x \right)} = x y que dv⁡(x)=cos⁡(πx10)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(\frac{\pi x}{10} \right)}.

              Entonces du⁡(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

              Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

              1. que u=πx10u = \frac{\pi x}{10}.

                Luego que du=πdx10du = \frac{\pi dx}{10} y ponemos 10duπ\frac{10 du}{\pi}:

                ∫10cos⁡(u)π du\int \frac{10 \cos{\left(u \right)}}{\pi}\, du

                1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  ∫cos⁡(u) du=10∫cos⁡(u) duπ\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{10 \int \cos{\left(u \right)}\, du}{\pi}

                  1. La integral del coseno es seno:

                    ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                  Por lo tanto, el resultado es: 10sin⁡(u)π\frac{10 \sin{\left(u \right)}}{\pi}

                Si ahora sustituir uu más en:

                10sin⁡(πx10)π\frac{10 \sin{\left(\frac{\pi x}{10} \right)}}{\pi}

              Ahora resolvemos podintegral.

            2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫10sin⁡(πx10)π dx=10∫sin⁡(πx10) dxπ\int \frac{10 \sin{\left(\frac{\pi x}{10} \right)}}{\pi}\, dx = \frac{10 \int \sin{\left(\frac{\pi x}{10} \right)}\, dx}{\pi}

              1. que u=πx10u = \frac{\pi x}{10}.

                Luego que du=πdx10du = \frac{\pi dx}{10} y ponemos 10duπ\frac{10 du}{\pi}:

                ∫10sin⁡(u)π du\int \frac{10 \sin{\left(u \right)}}{\pi}\, du

                1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  ∫sin⁡(u) du=10∫sin⁡(u) duπ\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{10 \int \sin{\left(u \right)}\, du}{\pi}

                  1. La integral del seno es un coseno menos:

                    ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

                  Por lo tanto, el resultado es: −10cos⁡(u)π- \frac{10 \cos{\left(u \right)}}{\pi}

                Si ahora sustituir uu más en:

                −10cos⁡(πx10)π- \frac{10 \cos{\left(\frac{\pi x}{10} \right)}}{\pi}

              Por lo tanto, el resultado es: −100cos⁡(πx10)π2- \frac{100 \cos{\left(\frac{\pi x}{10} \right)}}{\pi^{2}}

            Por lo tanto, el resultado es: 30xsin⁡(πx10)π+300cos⁡(πx10)π2\frac{30 x \sin{\left(\frac{\pi x}{10} \right)}}{\pi} + \frac{300 \cos{\left(\frac{\pi x}{10} \right)}}{\pi^{2}}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫4cos⁡(πx10) dx=4∫cos⁡(πx10) dx\int 4 \cos{\left(\frac{\pi x}{10} \right)}\, dx = 4 \int \cos{\left(\frac{\pi x}{10} \right)}\, dx

            1. que u=πx10u = \frac{\pi x}{10}.

              Luego que du=πdx10du = \frac{\pi dx}{10} y ponemos 10duπ\frac{10 du}{\pi}:

              ∫10cos⁡(u)π du\int \frac{10 \cos{\left(u \right)}}{\pi}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫cos⁡(u) du=10∫cos⁡(u) duπ\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{10 \int \cos{\left(u \right)}\, du}{\pi}

                1. La integral del coseno es seno:

                  ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                Por lo tanto, el resultado es: 10sin⁡(u)π\frac{10 \sin{\left(u \right)}}{\pi}

              Si ahora sustituir uu más en:

              10sin⁡(πx10)π\frac{10 \sin{\left(\frac{\pi x}{10} \right)}}{\pi}

            Por lo tanto, el resultado es: 40sin⁡(πx10)π\frac{40 \sin{\left(\frac{\pi x}{10} \right)}}{\pi}

          El resultado es: 30xsin⁡(πx10)π+40sin⁡(πx10)π+300cos⁡(πx10)π2\frac{30 x \sin{\left(\frac{\pi x}{10} \right)}}{\pi} + \frac{40 \sin{\left(\frac{\pi x}{10} \right)}}{\pi} + \frac{300 \cos{\left(\frac{\pi x}{10} \right)}}{\pi^{2}}

      Por lo tanto, el resultado es: 60xsin⁡(πx10)π+80sin⁡(πx10)π+600cos⁡(πx10)π2\frac{60 x \sin{\left(\frac{\pi x}{10} \right)}}{\pi} + \frac{80 \sin{\left(\frac{\pi x}{10} \right)}}{\pi} + \frac{600 \cos{\left(\frac{\pi x}{10} \right)}}{\pi^{2}}

    Por lo tanto, el resultado es: π(60xsin⁡(πx10)π+80sin⁡(πx10)π+600cos⁡(πx10)π2)\pi \left(\frac{60 x \sin{\left(\frac{\pi x}{10} \right)}}{\pi} + \frac{80 \sin{\left(\frac{\pi x}{10} \right)}}{\pi} + \frac{600 \cos{\left(\frac{\pi x}{10} \right)}}{\pi^{2}}\right)

  2. Ahora simplificar:

    20(π(3x+4)sin⁡(πx10)+30cos⁡(πx10))π\frac{20 \left(\pi \left(3 x + 4\right) \sin{\left(\frac{\pi x}{10} \right)} + 30 \cos{\left(\frac{\pi x}{10} \right)}\right)}{\pi}

  3. Añadimos la constante de integración:

    20(π(3x+4)sin⁡(πx10)+30cos⁡(πx10))π+constant\frac{20 \left(\pi \left(3 x + 4\right) \sin{\left(\frac{\pi x}{10} \right)} + 30 \cos{\left(\frac{\pi x}{10} \right)}\right)}{\pi}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

20(π(3x+4)sin⁡(πx10)+30cos⁡(πx10))π+constant\frac{20 \left(\pi \left(3 x + 4\right) \sin{\left(\frac{\pi x}{10} \right)} + 30 \cos{\left(\frac{\pi x}{10} \right)}\right)}{\pi}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                     /      /pi*x\          /pi*x\           /pi*x\\
 |                                      |80*sin|----|   600*cos|----|   60*x*sin|----||
 |    /pi*x\                            |      \ 10 /          \ 10 /           \ 10 /|
 | cos|----|*(3*x + 4)*2*pi dx = C + pi*|------------ + ------------- + --------------|
 |    \ 10 /                            |     pi               2              pi      |
 |                                      \                    pi                       /
/
∫π2(3x+4)cos⁡(πx10) dx=C+π(60xsin⁡(πx10)π+80sin⁡(πx10)π+600cos⁡(πx10)π2)\int \pi 2 \left(3 x + 4\right) \cos{\left(\frac{\pi x}{10} \right)}\, dx = C + \pi \left(\frac{60 x \sin{\left(\frac{\pi x}{10} \right)}}{\pi} + \frac{80 \sin{\left(\frac{\pi x}{10} \right)}}{\pi} + \frac{600 \cos{\left(\frac{\pi x}{10} \right)}}{\pi^{2}}\right)
Simplificar
Gráfica
0.05.00.51.01.52.02.53.03.54.04.50500
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
      600
380 - ---
       pi
380−600π380 - \frac{600}{\pi} 
=
= 
      600
380 - ---
       pi
380−600π380 - \frac{600}{\pi} 
380 - 600/pi
Respuesta numérica [src] 
189.014068289726
189.014068289726

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

    © Sr Examen – Калькулятор