Integral de 2sin2x-(1/3)*cos(x/3) dx

1. Integramos término a término:

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 2 \sin{\left(2 x \right)}\, dx = 2 \int \sin{\left(2 x \right)}\, dx$

      1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

         Método #1

         1. que $u = 2 x$.

            Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

            $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{2}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{2}$

               1. La integral del seno es un coseno menos:

                  $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}$

         Método #2

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 2 \int \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

            1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

               Método #1

               1. que $u = \cos{\left(x \right)}$.

                  Luego que $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- du$:

                  $\int \left(- u\right)\, du$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int u\, du = - \int u\, du$

                     1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                        $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{2}}{2}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $- \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2}$

               Método #2

               1. que $u = \sin{\left(x \right)}$.

                  Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

                  $\int u\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \cos^{2}{\left(x \right)}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \cos{\left(2 x \right)}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- \frac{\cos{\left(\frac{x}{3} \right)}}{3}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(\frac{x}{3} \right)}\, dx}{3}$

      1. que $u = \frac{x}{3}$.

         Luego que $du = \frac{dx}{3}$ y ponemos $3 du$:

         $\int 3 \cos{\left(u \right)}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \cos{\left(u \right)}\, du = 3 \int \cos{\left(u \right)}\, du$

            1. La integral del coseno es seno:

               $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $3 \sin{\left(u \right)}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $3 \sin{\left(\frac{x}{3} \right)}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \sin{\left(\frac{x}{3} \right)}$

   El resultado es: $- \sin{\left(\frac{x}{3} \right)} - \cos{\left(2 x \right)}$

2. Ahora simplificar:

   $- \sin{\left(\frac{x}{3} \right)} - \cos{\left(2 x \right)}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $- \sin{\left(\frac{x}{3} \right)} - \cos{\left(2 x \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \sin{\left(\frac{x}{3} \right)} - \cos{\left(2 x \right)}+ \mathrm{constant}$