Integral de ln(2cos(x)) dx

1. Usamos la integración por partes:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   que $u{\left(x \right)} = \log{\left(2 \cos{\left(x \right)} \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = 1$.

   Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = - \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}$.

   Para buscar $v{\left(x \right)}$:

   1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

      $\int 1\, dx = x$

   Ahora resolvemos podintegral.

2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

   $\int \left(- \frac{x \sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}\right)\, dx = - \int \frac{x \sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}\, dx$

   1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

      Pero la integral

      $\int \frac{x \sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}\, dx$

   Por lo tanto, el resultado es: $- \int \frac{x \sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}\, dx$

3. Ahora simplificar:

   $x \log{\left(2 \cos{\left(x \right)} \right)} + \int x \tan{\left(x \right)}\, dx$

4. Añadimos la constante de integración:

   $x \log{\left(2 \cos{\left(x \right)} \right)} + \int x \tan{\left(x \right)}\, dx+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$x \log{\left(2 \cos{\left(x \right)} \right)} + \int x \tan{\left(x \right)}\, dx+ \mathrm{constant}$