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Resolución de integrales/ 6*x^2/ sin(x)/ (sin(x)-0.11*x-0.66*x^2)^2

Integral de (sin(x)-0.11*x-0.66*x^2)^2 dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
 pi                            
 --                            
 2                             
  /                            
 |                             
 |                         2   
 |  /                    2\    
 |  |         11*x   33*x |    
 |  |sin(x) - ---- - -----|  dx
 |  \         100      50 /    
 |                             
/                              
0
∫0π2(−33x250+(−11x100+sin⁡(x)))2 dx\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} \left(- \frac{33 x^{2}}{50} + \left(- \frac{11 x}{100} + \sin{\left(x \right)}\right)\right)^{2}\, dx 
Integral((sin(x) - 11*x/100 - 33*x^2/50)^2, (x, 0, pi/2))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (−33x250+(−11x100+sin⁡(x)))2=1089x42500+363x32500−33x2sin⁡(x)25+121x210000−11xsin⁡(x)50+sin⁡2(x)\left(- \frac{33 x^{2}}{50} + \left(- \frac{11 x}{100} + \sin{\left(x \right)}\right)\right)^{2} = \frac{1089 x^{4}}{2500} + \frac{363 x^{3}}{2500} - \frac{33 x^{2} \sin{\left(x \right)}}{25} + \frac{121 x^{2}}{10000} - \frac{11 x \sin{\left(x \right)}}{50} + \sin^{2}{\left(x \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫1089x42500 dx=1089∫x4 dx2500\int \frac{1089 x^{4}}{2500}\, dx = \frac{1089 \int x^{4}\, dx}{2500}

        1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫x4 dx=x55\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}

        Por lo tanto, el resultado es: 1089x512500\frac{1089 x^{5}}{12500}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫363x32500 dx=363∫x3 dx2500\int \frac{363 x^{3}}{2500}\, dx = \frac{363 \int x^{3}\, dx}{2500}

        1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫x3 dx=x44\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}

        Por lo tanto, el resultado es: 363x410000\frac{363 x^{4}}{10000}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−33x2sin⁡(x)25) dx=−33∫x2sin⁡(x) dx25\int \left(- \frac{33 x^{2} \sin{\left(x \right)}}{25}\right)\, dx = - \frac{33 \int x^{2} \sin{\left(x \right)}\, dx}{25}

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=x2u{\left(x \right)} = x^{2} y que dv⁡(x)=sin⁡(x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}.

          Entonces du⁡(x)=2x\operatorname{du}{\left(x \right)} = 2 x.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. La integral del seno es un coseno menos:

            ∫sin⁡(x) dx=−cos⁡(x)\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=−2xu{\left(x \right)} = - 2 x y que dv⁡(x)=cos⁡(x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}.

          Entonces du⁡(x)=−2\operatorname{du}{\left(x \right)} = -2.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. La integral del coseno es seno:

            ∫cos⁡(x) dx=sin⁡(x)\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}

          Ahora resolvemos podintegral.

        3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−2sin⁡(x)) dx=−2∫sin⁡(x) dx\int \left(- 2 \sin{\left(x \right)}\right)\, dx = - 2 \int \sin{\left(x \right)}\, dx

          1. La integral del seno es un coseno menos:

            ∫sin⁡(x) dx=−cos⁡(x)\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: 2cos⁡(x)2 \cos{\left(x \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: 33x2cos⁡(x)25−66xsin⁡(x)25−66cos⁡(x)25\frac{33 x^{2} \cos{\left(x \right)}}{25} - \frac{66 x \sin{\left(x \right)}}{25} - \frac{66 \cos{\left(x \right)}}{25}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫121x210000 dx=121∫x2 dx10000\int \frac{121 x^{2}}{10000}\, dx = \frac{121 \int x^{2}\, dx}{10000}

        1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫x2 dx=x33\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}

        Por lo tanto, el resultado es: 121x330000\frac{121 x^{3}}{30000}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−11xsin⁡(x)50) dx=−11∫xsin⁡(x) dx50\int \left(- \frac{11 x \sin{\left(x \right)}}{50}\right)\, dx = - \frac{11 \int x \sin{\left(x \right)}\, dx}{50}

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=xu{\left(x \right)} = x y que dv⁡(x)=sin⁡(x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}.

          Entonces du⁡(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. La integral del seno es un coseno menos:

            ∫sin⁡(x) dx=−cos⁡(x)\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−cos⁡(x)) dx=−∫cos⁡(x) dx\int \left(- \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \cos{\left(x \right)}\, dx

          1. La integral del coseno es seno:

            ∫cos⁡(x) dx=sin⁡(x)\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡(x)- \sin{\left(x \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: 11xcos⁡(x)50−11sin⁡(x)50\frac{11 x \cos{\left(x \right)}}{50} - \frac{11 \sin{\left(x \right)}}{50}

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        sin⁡2(x)=12−cos⁡(2x)2\sin^{2}{\left(x \right)} = \frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}

      2. Integramos término a término:

        1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

          ∫12 dx=x2\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−cos⁡(2x)2) dx=−∫cos⁡(2x) dx2\int \left(- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2}

          1. que u=2xu = 2 x.

            Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

            ∫cos⁡(u)2 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

              1. La integral del coseno es seno:

                ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

            Si ahora sustituir uu más en:

            sin⁡(2x)2\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

          Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡(2x)4- \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

        El resultado es: x2−sin⁡(2x)4\frac{x}{2} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

      El resultado es: 1089x512500+363x410000+121x330000+33x2cos⁡(x)25−66xsin⁡(x)25+11xcos⁡(x)50+x2−11sin⁡(x)50−sin⁡(2x)4−66cos⁡(x)25\frac{1089 x^{5}}{12500} + \frac{363 x^{4}}{10000} + \frac{121 x^{3}}{30000} + \frac{33 x^{2} \cos{\left(x \right)}}{25} - \frac{66 x \sin{\left(x \right)}}{25} + \frac{11 x \cos{\left(x \right)}}{50} + \frac{x}{2} - \frac{11 \sin{\left(x \right)}}{50} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} - \frac{66 \cos{\left(x \right)}}{25}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (−33x250+(−11x100+sin⁡(x)))2=1089x42500+363x32500−33x2sin⁡(x)25+121x210000−11xsin⁡(x)50+sin⁡2(x)\left(- \frac{33 x^{2}}{50} + \left(- \frac{11 x}{100} + \sin{\left(x \right)}\right)\right)^{2} = \frac{1089 x^{4}}{2500} + \frac{363 x^{3}}{2500} - \frac{33 x^{2} \sin{\left(x \right)}}{25} + \frac{121 x^{2}}{10000} - \frac{11 x \sin{\left(x \right)}}{50} + \sin^{2}{\left(x \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫1089x42500 dx=1089∫x4 dx2500\int \frac{1089 x^{4}}{2500}\, dx = \frac{1089 \int x^{4}\, dx}{2500}

        1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫x4 dx=x55\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}

        Por lo tanto, el resultado es: 1089x512500\frac{1089 x^{5}}{12500}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫363x32500 dx=363∫x3 dx2500\int \frac{363 x^{3}}{2500}\, dx = \frac{363 \int x^{3}\, dx}{2500}

        1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫x3 dx=x44\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}

        Por lo tanto, el resultado es: 363x410000\frac{363 x^{4}}{10000}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−33x2sin⁡(x)25) dx=−33∫x2sin⁡(x) dx25\int \left(- \frac{33 x^{2} \sin{\left(x \right)}}{25}\right)\, dx = - \frac{33 \int x^{2} \sin{\left(x \right)}\, dx}{25}

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=x2u{\left(x \right)} = x^{2} y que dv⁡(x)=sin⁡(x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}.

          Entonces du⁡(x)=2x\operatorname{du}{\left(x \right)} = 2 x.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. La integral del seno es un coseno menos:

            ∫sin⁡(x) dx=−cos⁡(x)\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=−2xu{\left(x \right)} = - 2 x y que dv⁡(x)=cos⁡(x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}.

          Entonces du⁡(x)=−2\operatorname{du}{\left(x \right)} = -2.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. La integral del coseno es seno:

            ∫cos⁡(x) dx=sin⁡(x)\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}

          Ahora resolvemos podintegral.

        3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−2sin⁡(x)) dx=−2∫sin⁡(x) dx\int \left(- 2 \sin{\left(x \right)}\right)\, dx = - 2 \int \sin{\left(x \right)}\, dx

          1. La integral del seno es un coseno menos:

            ∫sin⁡(x) dx=−cos⁡(x)\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: 2cos⁡(x)2 \cos{\left(x \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: 33x2cos⁡(x)25−66xsin⁡(x)25−66cos⁡(x)25\frac{33 x^{2} \cos{\left(x \right)}}{25} - \frac{66 x \sin{\left(x \right)}}{25} - \frac{66 \cos{\left(x \right)}}{25}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫121x210000 dx=121∫x2 dx10000\int \frac{121 x^{2}}{10000}\, dx = \frac{121 \int x^{2}\, dx}{10000}

        1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫x2 dx=x33\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}

        Por lo tanto, el resultado es: 121x330000\frac{121 x^{3}}{30000}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−11xsin⁡(x)50) dx=−11∫xsin⁡(x) dx50\int \left(- \frac{11 x \sin{\left(x \right)}}{50}\right)\, dx = - \frac{11 \int x \sin{\left(x \right)}\, dx}{50}

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=xu{\left(x \right)} = x y que dv⁡(x)=sin⁡(x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}.

          Entonces du⁡(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. La integral del seno es un coseno menos:

            ∫sin⁡(x) dx=−cos⁡(x)\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−cos⁡(x)) dx=−∫cos⁡(x) dx\int \left(- \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \cos{\left(x \right)}\, dx

          1. La integral del coseno es seno:

            ∫cos⁡(x) dx=sin⁡(x)\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡(x)- \sin{\left(x \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: 11xcos⁡(x)50−11sin⁡(x)50\frac{11 x \cos{\left(x \right)}}{50} - \frac{11 \sin{\left(x \right)}}{50}

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        sin⁡2(x)=12−cos⁡(2x)2\sin^{2}{\left(x \right)} = \frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}

      2. Integramos término a término:

        1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

          ∫12 dx=x2\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−cos⁡(2x)2) dx=−∫cos⁡(2x) dx2\int \left(- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2}

          1. que u=2xu = 2 x.

            Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

            ∫cos⁡(u)2 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

              1. La integral del coseno es seno:

                ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

            Si ahora sustituir uu más en:

            sin⁡(2x)2\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

          Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡(2x)4- \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

        El resultado es: x2−sin⁡(2x)4\frac{x}{2} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

      El resultado es: 1089x512500+363x410000+121x330000+33x2cos⁡(x)25−66xsin⁡(x)25+11xcos⁡(x)50+x2−11sin⁡(x)50−sin⁡(2x)4−66cos⁡(x)25\frac{1089 x^{5}}{12500} + \frac{363 x^{4}}{10000} + \frac{121 x^{3}}{30000} + \frac{33 x^{2} \cos{\left(x \right)}}{25} - \frac{66 x \sin{\left(x \right)}}{25} + \frac{11 x \cos{\left(x \right)}}{50} + \frac{x}{2} - \frac{11 \sin{\left(x \right)}}{50} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} - \frac{66 \cos{\left(x \right)}}{25}

  2. Añadimos la constante de integración:

    1089x512500+363x410000+121x330000+33x2cos⁡(x)25−66xsin⁡(x)25+11xcos⁡(x)50+x2−11sin⁡(x)50−sin⁡(2x)4−66cos⁡(x)25+constant\frac{1089 x^{5}}{12500} + \frac{363 x^{4}}{10000} + \frac{121 x^{3}}{30000} + \frac{33 x^{2} \cos{\left(x \right)}}{25} - \frac{66 x \sin{\left(x \right)}}{25} + \frac{11 x \cos{\left(x \right)}}{50} + \frac{x}{2} - \frac{11 \sin{\left(x \right)}}{50} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} - \frac{66 \cos{\left(x \right)}}{25}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

1089x512500+363x410000+121x330000+33x2cos⁡(x)25−66xsin⁡(x)25+11xcos⁡(x)50+x2−11sin⁡(x)50−sin⁡(2x)4−66cos⁡(x)25+constant\frac{1089 x^{5}}{12500} + \frac{363 x^{4}}{10000} + \frac{121 x^{3}}{30000} + \frac{33 x^{2} \cos{\left(x \right)}}{25} - \frac{66 x \sin{\left(x \right)}}{25} + \frac{11 x \cos{\left(x \right)}}{50} + \frac{x}{2} - \frac{11 \sin{\left(x \right)}}{50} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} - \frac{66 \cos{\left(x \right)}}{25}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                                                                                                             
 |                                                                                                                                              
 |                        2                                                                                                                     
 | /                    2\                                                       3        4         5                                   2       
 | |         11*x   33*x |           x   66*cos(x)   11*sin(x)   sin(2*x)   121*x    363*x    1089*x    66*x*sin(x)   11*x*cos(x)   33*x *cos(x)
 | |sin(x) - ---- - -----|  dx = C + - - --------- - --------- - -------- + ------ + ------ + ------- - ----------- + ----------- + ------------
 | \         100      50 /           2       25          50         4       30000    10000     12500         25            50            25     
 |                                                                                                                                              
/
∫(−33x250+(−11x100+sin⁡(x)))2 dx=C+1089x512500+363x410000+121x330000+33x2cos⁡(x)25−66xsin⁡(x)25+11xcos⁡(x)50+x2−11sin⁡(x)50−sin⁡(2x)4−66cos⁡(x)25\int \left(- \frac{33 x^{2}}{50} + \left(- \frac{11 x}{100} + \sin{\left(x \right)}\right)\right)^{2}\, dx = C + \frac{1089 x^{5}}{12500} + \frac{363 x^{4}}{10000} + \frac{121 x^{3}}{30000} + \frac{33 x^{2} \cos{\left(x \right)}}{25} - \frac{66 x \sin{\left(x \right)}}{25} + \frac{11 x \cos{\left(x \right)}}{50} + \frac{x}{2} - \frac{11 \sin{\left(x \right)}}{50} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} - \frac{66 \cos{\left(x \right)}}{25}
Simplificar
Gráfica
0.00.10.20.30.40.50.60.70.80.91.01.11.21.31.41.55-5
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
                     3         4          5
121   107*pi   121*pi    363*pi    1089*pi 
--- - ------ + ------- + ------- + --------
 50    100      240000    160000    400000
−107π100+121π3240000+363π4160000+1089π5400000+12150- \frac{107 \pi}{100} + \frac{121 \pi^{3}}{240000} + \frac{363 \pi^{4}}{160000} + \frac{1089 \pi^{5}}{400000} + \frac{121}{50} 
=
= 
                     3         4          5
121   107*pi   121*pi    363*pi    1089*pi 
--- - ------ + ------- + ------- + --------
 50    100      240000    160000    400000
−107π100+121π3240000+363π4160000+1089π5400000+12150- \frac{107 \pi}{100} + \frac{121 \pi^{3}}{240000} + \frac{363 \pi^{4}}{160000} + \frac{1089 \pi^{5}}{400000} + \frac{121}{50} 
121/50 - 107*pi/100 + 121*pi^3/240000 + 363*pi^4/160000 + 1089*pi^5/400000
Respuesta numérica [src] 
0.128263658929894
0.128263658929894

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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