Integral de (x-4)/(sqrtx^2-2) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \sqrt{x}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{2 \sqrt{x}}$ y ponemos $du$:

      $\int \frac{2 u^{3} - 8 u}{u^{2} - 2}\, du$

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{2 u^{3} - 8 u}{u^{2} - 2} = 2 u - \frac{4 u}{u^{2} - 2}$

      2. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 2 u\, du = 2 \int u\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $u^{2}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- \frac{4 u}{u^{2} - 2}\right)\, du = - 4 \int \frac{u}{u^{2} - 2}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{u}{u^{2} - 2}\, du = \frac{\int \frac{2 u}{u^{2} - 2}\, du}{2}$

               1. que $u = u^{2} - 2$.

                  Luego que $du = 2 u du$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

                  $\int \frac{1}{2 u}\, du$

                  1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\log{\left(u^{2} - 2 \right)}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u^{2} - 2 \right)}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- 2 \log{\left(u^{2} - 2 \right)}$

         El resultado es: $u^{2} - 2 \log{\left(u^{2} - 2 \right)}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $x - 2 \log{\left(x - 2 \right)}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{x - 4}{\left(\sqrt{x}\right)^{2} - 2} = \frac{x}{x - 2} - \frac{4}{x - 2}$

   2. Integramos término a término:

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{x}{x - 2} = 1 + \frac{2}{x - 2}$

      2. Integramos término a término:

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int 1\, dx = x$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{2}{x - 2}\, dx = 2 \int \frac{1}{x - 2}\, dx$

            1. que $u = x - 2$.

               Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

               $\int \frac{1}{u}\, du$

               1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\log{\left(x - 2 \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $2 \log{\left(x - 2 \right)}$

         El resultado es: $x + 2 \log{\left(x - 2 \right)}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{4}{x - 2}\right)\, dx = - 4 \int \frac{1}{x - 2}\, dx$

         1. que $u = x - 2$.

            Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\log{\left(x - 2 \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 4 \log{\left(x - 2 \right)}$

      El resultado es: $x - 2 \log{\left(x - 2 \right)}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $x - 2 \log{\left(x - 2 \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$x - 2 \log{\left(x - 2 \right)}+ \mathrm{constant}$