Integral de 4*cos(x)*exp(-x) dx

1. que $u = - x$.

   Luego que $du = - dx$ y ponemos $- 4 du$:

   $\int \left(- 4 e^{u} \cos{\left(u \right)}\right)\, du$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int e^{u} \cos{\left(u \right)}\, du = - 4 \int e^{u} \cos{\left(u \right)}\, du$

      1. Usamos la integración por partes, notamos que al fin de cuentas el integrando se repite.

         1. Para el integrando $e^{u} \cos{\left(u \right)}$:

            que $u{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

            Entonces $\int e^{u} \cos{\left(u \right)}\, du = e^{u} \cos{\left(u \right)} - \int \left(- e^{u} \sin{\left(u \right)}\right)\, du$.

         2. Para el integrando $- e^{u} \sin{\left(u \right)}$:

            que $u{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

            Entonces $\int e^{u} \cos{\left(u \right)}\, du = e^{u} \sin{\left(u \right)} + e^{u} \cos{\left(u \right)} + \int \left(- e^{u} \cos{\left(u \right)}\right)\, du$.

         3. Tenga en cuenta que el integrando se repite, por eso lo movemos hacia el lado:

            $2 \int e^{u} \cos{\left(u \right)}\, du = e^{u} \sin{\left(u \right)} + e^{u} \cos{\left(u \right)}$

            Por lo tanto,

            $\int e^{u} \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{e^{u} \sin{\left(u \right)}}{2} + \frac{e^{u} \cos{\left(u \right)}}{2}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- 2 e^{u} \sin{\left(u \right)} - 2 e^{u} \cos{\left(u \right)}$

   Si ahora sustituir $u$ más en:

   $2 e^{- x} \sin{\left(x \right)} - 2 e^{- x} \cos{\left(x \right)}$

2. Ahora simplificar:

   $- 2 \sqrt{2} e^{- x} \cos{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $- 2 \sqrt{2} e^{- x} \cos{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- 2 \sqrt{2} e^{- x} \cos{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}+ \mathrm{constant}$