Integral de x*dx/(1+sqrt(x+1)) dx

1. que $u = \sqrt{x + 1}$.

   Luego que $du = \frac{dx}{2 \sqrt{x + 1}}$ y ponemos $2 du$:

   $\int \frac{2 u \left(u^{2} - 1\right)}{u + 1}\, du$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{u \left(u^{2} - 1\right)}{u + 1}\, du = 2 \int \frac{u \left(u^{2} - 1\right)}{u + 1}\, du$

      1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

         Método #1

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{u \left(u^{2} - 1\right)}{u + 1} = u^{2} - u$

         2. Integramos término a término:

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- u\right)\, du = - \int u\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{2}}{2}$

            El resultado es: $\frac{u^{3}}{3} - \frac{u^{2}}{2}$

         Método #2

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{u \left(u^{2} - 1\right)}{u + 1} = \frac{u^{3}}{u + 1} - \frac{u}{u + 1}$

         2. Integramos término a término:

            1. Vuelva a escribir el integrando:

               $\frac{u^{3}}{u + 1} = u^{2} - u + 1 - \frac{1}{u + 1}$

            2. Integramos término a término:

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \left(- u\right)\, du = - \int u\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{2}}{2}$

               1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  $\int 1\, du = u$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \left(- \frac{1}{u + 1}\right)\, du = - \int \frac{1}{u + 1}\, du$

                  1. que $u = u + 1$.

                     Luego que $du = du$ y ponemos $du$:

                     $\int \frac{1}{u}\, du$

                     1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                     Si ahora sustituir $u$ más en:

                     $\log{\left(u + 1 \right)}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \log{\left(u + 1 \right)}$

               El resultado es: $\frac{u^{3}}{3} - \frac{u^{2}}{2} + u - \log{\left(u + 1 \right)}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- \frac{u}{u + 1}\right)\, du = - \int \frac{u}{u + 1}\, du$

               1. Vuelva a escribir el integrando:

                  $\frac{u}{u + 1} = 1 - \frac{1}{u + 1}$

               2. Integramos término a término:

                  1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                     $\int 1\, du = u$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \left(- \frac{1}{u + 1}\right)\, du = - \int \frac{1}{u + 1}\, du$

                     1. que $u = u + 1$.

                        Luego que $du = du$ y ponemos $du$:

                        $\int \frac{1}{u}\, du$

                        1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                        Si ahora sustituir $u$ más en:

                        $\log{\left(u + 1 \right)}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $- \log{\left(u + 1 \right)}$

                  El resultado es: $u - \log{\left(u + 1 \right)}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- u + \log{\left(u + 1 \right)}$

            El resultado es: $\frac{u^{3}}{3} - \frac{u^{2}}{2}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 u^{3}}{3} - u^{2}$

   Si ahora sustituir $u$ más en:

   $- x + \frac{2 \left(x + 1\right)^{\frac{3}{2}}}{3} - 1$

2. Ahora simplificar:

   $- x + \frac{2 \left(x + 1\right)^{\frac{3}{2}}}{3} - 1$

3. Añadimos la constante de integración:

   $- x + \frac{2 \left(x + 1\right)^{\frac{3}{2}}}{3} - 1+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- x + \frac{2 \left(x + 1\right)^{\frac{3}{2}}}{3} - 1+ \mathrm{constant}$