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Resolución de integrales/ 1-x^2/ x^2+5/ (x^2+5)/sqrt(1-x^2)

Integral de (x^2+5)/sqrt(1-x^2) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1               
  /               
 |                
 |      2         
 |     x  + 5     
 |  ----------- dx
 |     ________   
 |    /      2    
 |  \/  1 - x     
 |                
/                 
0
∫01x2+51−x2 dx\int\limits_{0}^{1} \frac{x^{2} + 5}{\sqrt{1 - x^{2}}}\, dx 
Integral((x^2 + 5)/sqrt(1 - x^2), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Vuelva a escribir el integrando:

    x2+51−x2=x21−x2+51−x2\frac{x^{2} + 5}{\sqrt{1 - x^{2}}} = \frac{x^{2}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \frac{5}{\sqrt{1 - x^{2}}}

  2. Integramos término a término:

      TrigSubstitutionRule(theta=_theta, func=sin(_theta), rewritten=sin(_theta)**2, substep=RewriteRule(rewritten=1/2 - cos(2*_theta)/2, substep=AddRule(substeps=[ConstantRule(constant=1/2, context=1/2, symbol=_theta), ConstantTimesRule(constant=-1/2, other=cos(2*_theta), substep=URule(u_var=_u, u_func=2*_theta, constant=1/2, substep=ConstantTimesRule(constant=1/2, other=cos(_u), substep=TrigRule(func='cos', arg=_u, context=cos(_u), symbol=_u), context=cos(_u), symbol=_u), context=cos(2*_theta), symbol=_theta), context=-cos(2*_theta)/2, symbol=_theta)], context=1/2 - cos(2*_theta)/2, symbol=_theta), context=sin(_theta)**2, symbol=_theta), restriction=(x > -1) & (x < 1), context=x**2/sqrt(1 - x**2), symbol=x)

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫51−x2 dx=5∫11−x2 dx\int \frac{5}{\sqrt{1 - x^{2}}}\, dx = 5 \int \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}\, dx

        ArcsinRule(context=1/sqrt(1 - x**2), symbol=x)

      Por lo tanto, el resultado es: 5asin⁡(x)5 \operatorname{asin}{\left(x \right)}

    El resultado es: {−x1−x22+asin⁡(x)2for x>−1∧x<1+5asin⁡(x)\begin{cases} - \frac{x \sqrt{1 - x^{2}}}{2} + \frac{\operatorname{asin}{\left(x \right)}}{2} & \text{for}\: x > -1 \wedge x < 1 \end{cases} + 5 \operatorname{asin}{\left(x \right)}

  3. Ahora simplificar:

    {−x1−x2+11asin⁡(x)2for x>−1∧x<1\begin{cases} \frac{- x \sqrt{1 - x^{2}} + 11 \operatorname{asin}{\left(x \right)}}{2} & \text{for}\: x > -1 \wedge x < 1 \end{cases}

  4. Añadimos la constante de integración:

    {−x1−x2+11asin⁡(x)2for x>−1∧x<1+constant\begin{cases} \frac{- x \sqrt{1 - x^{2}} + 11 \operatorname{asin}{\left(x \right)}}{2} & \text{for}\: x > -1 \wedge x < 1 \end{cases}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

{−x1−x2+11asin⁡(x)2for x>−1∧x<1+constant\begin{cases} \frac{- x \sqrt{1 - x^{2}} + 11 \operatorname{asin}{\left(x \right)}}{2} & \text{for}\: x > -1 \wedge x < 1 \end{cases}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                                                   
 |                                                                                    
 |     2                            //               ________                        \
 |    x  + 5                        ||              /      2                         |
 | ----------- dx = C + 5*asin(x) + | -1, x < 1)|
 |   /      2                       \\   2            2                              /
 | \/  1 - x                                                                          
 |                                                                                    
/
∫x2+51−x2 dx=C+{−x1−x22+asin⁡(x)2for x>−1∧x<1+5asin⁡(x)\int \frac{x^{2} + 5}{\sqrt{1 - x^{2}}}\, dx = C + \begin{cases} - \frac{x \sqrt{1 - x^{2}}}{2} + \frac{\operatorname{asin}{\left(x \right)}}{2} & \text{for}\: x > -1 \wedge x < 1 \end{cases} + 5 \operatorname{asin}{\left(x \right)}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.900500
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
11*pi
-----
  4
11π4\frac{11 \pi}{4} 
=
= 
11*pi
-----
  4
11π4\frac{11 \pi}{4} 
11*pi/4
Respuesta numérica [src] 
8.63937979512128
8.63937979512128

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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