Integral de (3x-sqrt^3x^2)/x dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \sqrt{x}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{2 \sqrt{x}}$ y ponemos $du$:

      $\int \left(- 2 u^{8} + 6 u\right)\, du$

      1. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- 2 u^{8}\right)\, du = - 2 \int u^{8}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{8}\, du = \frac{u^{9}}{9}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2 u^{9}}{9}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 6 u\, du = 6 \int u\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $3 u^{2}$

         El resultado es: $- \frac{2 u^{9}}{9} + 3 u^{2}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{2 x^{\frac{9}{2}}}{9} + 3 x$

   Método #2

   1. que $u = \frac{1}{x}$.

      Luego que $du = - \frac{dx}{x^{2}}$ y ponemos $du$:

      $\int \frac{u \left(\frac{1}{u}\right)^{\frac{9}{2}} - 3}{u^{2}}\, du$

      1. que $u = \frac{1}{u}$.

         Luego que $du = - \frac{du}{u^{2}}$ y ponemos $du$:

         $\int \left(3 - u^{\frac{7}{2}}\right)\, du$

         1. Integramos término a término:

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int 3\, du = 3 u$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- u^{\frac{7}{2}}\right)\, du = - \int u^{\frac{7}{2}}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{\frac{7}{2}}\, du = \frac{2 u^{\frac{9}{2}}}{9}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2 u^{\frac{9}{2}}}{9}$

            El resultado es: $- \frac{2 u^{\frac{9}{2}}}{9} + 3 u$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{2 \left(\frac{1}{u}\right)^{\frac{9}{2}}}{9} + \frac{3}{u}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{2 x^{\frac{9}{2}}}{9} + 3 x$

2. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{2 x^{\frac{9}{2}}}{9} + 3 x+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{2 x^{\frac{9}{2}}}{9} + 3 x+ \mathrm{constant}$