Integral de (x²+1)/((x²+1)(x+3))dx dx

1. Vuelva a escribir el integrando:

   $\frac{x^{2} + 1}{\left(x + 3\right) \left(x^{2} + 1\right)} = \frac{x^{2}}{x^{3} + 3 x^{2} + x + 3} + \frac{1}{x^{3} + 3 x^{2} + x + 3}$

2. Integramos término a término:

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{x^{2}}{x^{3} + 3 x^{2} + x + 3} = \frac{x - 3}{10 \left(x^{2} + 1\right)} + \frac{9}{10 \left(x + 3\right)}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{x - 3}{10 \left(x^{2} + 1\right)}\, dx = \frac{\int \frac{x - 3}{x^{2} + 1}\, dx}{10}$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{x - 3}{x^{2} + 1} = \frac{x}{x^{2} + 1} - \frac{3}{x^{2} + 1}$

         2. Integramos término a término:

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{x}{x^{2} + 1}\, dx = \frac{\int \frac{2 x}{x^{2} + 1}\, dx}{2}$

               1. que $u = x^{2} + 1$.

                  Luego que $du = 2 x dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

                  $\int \frac{1}{2 u}\, du$

                  1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\log{\left(x^{2} + 1 \right)}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{2}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- \frac{3}{x^{2} + 1}\right)\, dx = - 3 \int \frac{1}{x^{2} + 1}\, dx$

               PieceweseRule(subfunctions=[(ArctanRule(a=1, b=1, c=1, context=1/(x**2 + 1), symbol=x), True), (ArccothRule(a=1, b=1, c=1, context=1/(x**2 + 1), symbol=x), False), (ArctanhRule(a=1, b=1, c=1, context=1/(x**2 + 1), symbol=x), False)], context=1/(x**2 + 1), symbol=x)

               Por lo tanto, el resultado es: $- 3 \operatorname{atan}{\left(x \right)}$

            El resultado es: $\frac{\log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{2} - 3 \operatorname{atan}{\left(x \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{20} - \frac{3 \operatorname{atan}{\left(x \right)}}{10}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{9}{10 \left(x + 3\right)}\, dx = \frac{9 \int \frac{1}{x + 3}\, dx}{10}$

         1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

            Pero la integral

            $\log{\left(x + 3 \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{9 \log{\left(x + 3 \right)}}{10}$

      El resultado es: $\frac{9 \log{\left(x + 3 \right)}}{10} + \frac{\log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{20} - \frac{3 \operatorname{atan}{\left(x \right)}}{10}$

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{1}{x^{3} + 3 x^{2} + x + 3} = - \frac{x - 3}{10 \left(x^{2} + 1\right)} + \frac{1}{10 \left(x + 3\right)}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{x - 3}{10 \left(x^{2} + 1\right)}\right)\, dx = - \frac{\int \frac{x - 3}{x^{2} + 1}\, dx}{10}$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{x - 3}{x^{2} + 1} = \frac{x}{x^{2} + 1} - \frac{3}{x^{2} + 1}$

         2. Integramos término a término:

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{x}{x^{2} + 1}\, dx = \frac{\int \frac{2 x}{x^{2} + 1}\, dx}{2}$

               1. que $u = x^{2} + 1$.

                  Luego que $du = 2 x dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

                  $\int \frac{1}{2 u}\, du$

                  1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\log{\left(x^{2} + 1 \right)}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{2}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- \frac{3}{x^{2} + 1}\right)\, dx = - 3 \int \frac{1}{x^{2} + 1}\, dx$

               PieceweseRule(subfunctions=[(ArctanRule(a=1, b=1, c=1, context=1/(x**2 + 1), symbol=x), True), (ArccothRule(a=1, b=1, c=1, context=1/(x**2 + 1), symbol=x), False), (ArctanhRule(a=1, b=1, c=1, context=1/(x**2 + 1), symbol=x), False)], context=1/(x**2 + 1), symbol=x)

               Por lo tanto, el resultado es: $- 3 \operatorname{atan}{\left(x \right)}$

            El resultado es: $\frac{\log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{2} - 3 \operatorname{atan}{\left(x \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{20} + \frac{3 \operatorname{atan}{\left(x \right)}}{10}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{1}{10 \left(x + 3\right)}\, dx = \frac{\int \frac{1}{x + 3}\, dx}{10}$

         1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

            Pero la integral

            $\log{\left(x + 3 \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(x + 3 \right)}}{10}$

      El resultado es: $\frac{\log{\left(x + 3 \right)}}{10} - \frac{\log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{20} + \frac{3 \operatorname{atan}{\left(x \right)}}{10}$

   El resultado es: $\log{\left(x + 3 \right)}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\log{\left(x + 3 \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\log{\left(x + 3 \right)}+ \mathrm{constant}$