Integral de arcsin(2x)+pi/2 dx

1. Integramos término a término:

   1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. que $u = 2 x$.

         Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

         $\int \frac{\operatorname{asin}{\left(u \right)}}{2}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \operatorname{asin}{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \operatorname{asin}{\left(u \right)}\, du}{2}$

            1. Usamos la integración por partes:

               $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

               que $u{\left(u \right)} = \operatorname{asin}{\left(u \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = 1$.

               Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = \frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}$.

               Para buscar $v{\left(u \right)}$:

               1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  $\int 1\, du = u$

               Ahora resolvemos podintegral.

            2. que $u = 1 - u^{2}$.

               Luego que $du = - 2 u du$ y ponemos $- \frac{du}{2}$:

               $\int \left(- \frac{1}{2 \sqrt{u}}\right)\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = - \frac{\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du}{2}$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = 2 \sqrt{u}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \sqrt{u}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $- \sqrt{1 - u^{2}}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u \operatorname{asin}{\left(u \right)}}{2} + \frac{\sqrt{1 - u^{2}}}{2}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $x \operatorname{asin}{\left(2 x \right)} + \frac{\sqrt{1 - 4 x^{2}}}{2}$

      Método #2

      1. Usamos la integración por partes:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         que $u{\left(x \right)} = \operatorname{asin}{\left(2 x \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = 1$.

         Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{2}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}}$.

         Para buscar $v{\left(x \right)}$:

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int 1\, dx = x$

         Ahora resolvemos podintegral.

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{2 x}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}}\, dx = 2 \int \frac{x}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}}\, dx$

         1. que $u = 1 - 4 x^{2}$.

            Luego que $du = - 8 x dx$ y ponemos $- \frac{du}{8}$:

            $\int \left(- \frac{1}{8 \sqrt{u}}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = - \frac{\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du}{8}$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = 2 \sqrt{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\sqrt{u}}{4}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{\sqrt{1 - 4 x^{2}}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\sqrt{1 - 4 x^{2}}}{2}$

   1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

      $\int \frac{\pi}{2}\, dx = \frac{\pi x}{2}$

   El resultado es: $x \operatorname{asin}{\left(2 x \right)} + \frac{\pi x}{2} + \frac{\sqrt{1 - 4 x^{2}}}{2}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $x \operatorname{asin}{\left(2 x \right)} + \frac{\pi x}{2} + \frac{\sqrt{1 - 4 x^{2}}}{2}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$x \operatorname{asin}{\left(2 x \right)} + \frac{\pi x}{2} + \frac{\sqrt{1 - 4 x^{2}}}{2}+ \mathrm{constant}$