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Resolución de integrales/ cosx// cos3x/ x/2dx/ cosx/2*cos3x/2dx

Integral de cosx/2*cos3x/2dx dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
 pi                   
  /                   
 |                    
 |  cos(x)            
 |  ------*cos(3*x)   
 |    2               
 |  --------------- dx
 |         2          
 |                    
/                     
0
∫0πcos⁡(x)2cos⁡(3x)2 dx\int\limits_{0}^{\pi} \frac{\frac{\cos{\left(x \right)}}{2} \cos{\left(3 x \right)}}{2}\, dx 
Integral(((cos(x)/2)*cos(3*x))/2, (x, 0, pi))
Solución detallada

  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

    ∫cos⁡(x)2cos⁡(3x)2 dx=∫cos⁡(x)cos⁡(3x)2 dx2\int \frac{\frac{\cos{\left(x \right)}}{2} \cos{\left(3 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \frac{\cos{\left(x \right)} \cos{\left(3 x \right)}}{2}\, dx}{2}

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫cos⁡(x)cos⁡(3x)2 dx=∫cos⁡(x)cos⁡(3x) dx2\int \frac{\cos{\left(x \right)} \cos{\left(3 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(x \right)} \cos{\left(3 x \right)}\, dx}{2}

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        cos⁡(x)cos⁡(3x)=4cos⁡4(x)−3cos⁡2(x)\cos{\left(x \right)} \cos{\left(3 x \right)} = 4 \cos^{4}{\left(x \right)} - 3 \cos^{2}{\left(x \right)}

      2. Integramos término a término:

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫4cos⁡4(x) dx=4∫cos⁡4(x) dx\int 4 \cos^{4}{\left(x \right)}\, dx = 4 \int \cos^{4}{\left(x \right)}\, dx

          1. Vuelva a escribir el integrando:

            cos⁡4(x)=(cos⁡(2x)2+12)2\cos^{4}{\left(x \right)} = \left(\frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{2}

          2. Hay varias maneras de calcular esta integral.

            Método #1

            1. Vuelva a escribir el integrando:

              (cos⁡(2x)2+12)2=cos⁡2(2x)4+cos⁡(2x)2+14\left(\frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{2} = \frac{\cos^{2}{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{4}

            2. Integramos término a término:

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫cos⁡2(2x)4 dx=∫cos⁡2(2x) dx4\int \frac{\cos^{2}{\left(2 x \right)}}{4}\, dx = \frac{\int \cos^{2}{\left(2 x \right)}\, dx}{4}

                1. Vuelva a escribir el integrando:

                  cos⁡2(2x)=cos⁡(4x)2+12\cos^{2}{\left(2 x \right)} = \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}

                2. Integramos término a término:

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                    ∫cos⁡(4x)2 dx=∫cos⁡(4x) dx2\int \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(4 x \right)}\, dx}{2}

                    1. que u=4xu = 4 x.

                      Luego que du=4dxdu = 4 dx y ponemos du4\frac{du}{4}:

                      ∫cos⁡(u)4 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du

                      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                        ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du4\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}

                        1. La integral del coseno es seno:

                          ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                        Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)4\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}

                      Si ahora sustituir uu más en:

                      sin⁡(4x)4\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}

                    Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(4x)8\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}

                  1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                    ∫12 dx=x2\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}

                  El resultado es: x2+sin⁡(4x)8\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}

                Por lo tanto, el resultado es: x8+sin⁡(4x)32\frac{x}{8} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{32}

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫cos⁡(2x)2 dx=∫cos⁡(2x) dx2\int \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2}

                1. que u=2xu = 2 x.

                  Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

                  ∫cos⁡(u)2 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                    ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

                    1. La integral del coseno es seno:

                      ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                    Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

                  Si ahora sustituir uu más en:

                  sin⁡(2x)2\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

                Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(2x)4\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

              1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                ∫14 dx=x4\int \frac{1}{4}\, dx = \frac{x}{4}

              El resultado es: 3x8+sin⁡(2x)4+sin⁡(4x)32\frac{3 x}{8} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{32}

            Método #2

            1. Vuelva a escribir el integrando:

              (cos⁡(2x)2+12)2=cos⁡2(2x)4+cos⁡(2x)2+14\left(\frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{2} = \frac{\cos^{2}{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{4}

            2. Integramos término a término:

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫cos⁡2(2x)4 dx=∫cos⁡2(2x) dx4\int \frac{\cos^{2}{\left(2 x \right)}}{4}\, dx = \frac{\int \cos^{2}{\left(2 x \right)}\, dx}{4}

                1. Vuelva a escribir el integrando:

                  cos⁡2(2x)=cos⁡(4x)2+12\cos^{2}{\left(2 x \right)} = \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}

                2. Integramos término a término:

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                    ∫cos⁡(4x)2 dx=∫cos⁡(4x) dx2\int \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(4 x \right)}\, dx}{2}

                    1. que u=4xu = 4 x.

                      Luego que du=4dxdu = 4 dx y ponemos du4\frac{du}{4}:

                      ∫cos⁡(u)4 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du

                      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                        ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du4\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}

                        1. La integral del coseno es seno:

                          ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                        Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)4\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}

                      Si ahora sustituir uu más en:

                      sin⁡(4x)4\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}

                    Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(4x)8\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}

                  1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                    ∫12 dx=x2\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}

                  El resultado es: x2+sin⁡(4x)8\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}

                Por lo tanto, el resultado es: x8+sin⁡(4x)32\frac{x}{8} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{32}

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫cos⁡(2x)2 dx=∫cos⁡(2x) dx2\int \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2}

                1. que u=2xu = 2 x.

                  Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

                  ∫cos⁡(u)2 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                    ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

                    1. La integral del coseno es seno:

                      ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                    Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

                  Si ahora sustituir uu más en:

                  sin⁡(2x)2\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

                Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(2x)4\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

              1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                ∫14 dx=x4\int \frac{1}{4}\, dx = \frac{x}{4}

              El resultado es: 3x8+sin⁡(2x)4+sin⁡(4x)32\frac{3 x}{8} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{32}

          Por lo tanto, el resultado es: 3x2+sin⁡(2x)+sin⁡(4x)8\frac{3 x}{2} + \sin{\left(2 x \right)} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−3cos⁡2(x)) dx=−3∫cos⁡2(x) dx\int \left(- 3 \cos^{2}{\left(x \right)}\right)\, dx = - 3 \int \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx

          1. Vuelva a escribir el integrando:

            cos⁡2(x)=cos⁡(2x)2+12\cos^{2}{\left(x \right)} = \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}

          2. Integramos término a término:

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫cos⁡(2x)2 dx=∫cos⁡(2x) dx2\int \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2}

              1. que u=2xu = 2 x.

                Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

                ∫cos⁡(u)2 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

                1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

                  1. La integral del coseno es seno:

                    ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                  Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

                Si ahora sustituir uu más en:

                sin⁡(2x)2\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

              Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(2x)4\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

              ∫12 dx=x2\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}

            El resultado es: x2+sin⁡(2x)4\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

          Por lo tanto, el resultado es: −3x2−3sin⁡(2x)4- \frac{3 x}{2} - \frac{3 \sin{\left(2 x \right)}}{4}

        El resultado es: sin⁡(2x)4+sin⁡(4x)8\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}

      Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(2x)8+sin⁡(4x)16\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{8} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{16}

    Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(2x)16+sin⁡(4x)32\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{16} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{32}

  2. Ahora simplificar:

    sin⁡(x)cos⁡3(x)4\frac{\sin{\left(x \right)} \cos^{3}{\left(x \right)}}{4}

  3. Añadimos la constante de integración:

    sin⁡(x)cos⁡3(x)4+constant\frac{\sin{\left(x \right)} \cos^{3}{\left(x \right)}}{4}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

sin⁡(x)cos⁡3(x)4+constant\frac{\sin{\left(x \right)} \cos^{3}{\left(x \right)}}{4}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                            
 |                                             
 | cos(x)                                      
 | ------*cos(3*x)                             
 |   2                      sin(2*x)   sin(4*x)
 | --------------- dx = C + -------- + --------
 |        2                    16         32   
 |                                             
/
∫cos⁡(x)2cos⁡(3x)2 dx=C+sin⁡(2x)16+sin⁡(4x)32\int \frac{\frac{\cos{\left(x \right)}}{2} \cos{\left(3 x \right)}}{2}\, dx = C + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{16} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{32}
Simplificar
Gráfica
0.000.250.500.751.001.251.501.752.002.252.502.753.000.5-0.5
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
0
00 
=
= 
0
00 
0
Respuesta numérica [src] 
-3.06744735514641e-17
-3.06744735514641e-17

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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