Integral de (x+2)/sqrt(4*x+12*x+7) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \sqrt{\left(4 x + 12 x\right) + 7}$.

      Luego que $du = \frac{8 dx}{\sqrt{\left(4 x + 12 x\right) + 7}}$ y ponemos $du$:

      $\int \left(\frac{u^{2}}{128} + \frac{25}{128}\right)\, du$

      1. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{u^{2}}{128}\, du = \frac{\int u^{2}\, du}{128}$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{3}}{384}$

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int \frac{25}{128}\, du = \frac{25 u}{128}$

         El resultado es: $\frac{u^{3}}{384} + \frac{25 u}{128}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\left(\left(4 x + 12 x\right) + 7\right)^{\frac{3}{2}}}{384} + \frac{25 \sqrt{\left(4 x + 12 x\right) + 7}}{128}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{x + 2}{\sqrt{\left(4 x + 12 x\right) + 7}} = \frac{x}{\sqrt{\left(4 x + 12 x\right) + 7}} + \frac{2}{\sqrt{\left(4 x + 12 x\right) + 7}}$

   2. Integramos término a término:

      1. que $u = \frac{1}{\sqrt{\left(4 x + 12 x\right) + 7}}$.

         Luego que $du = - \frac{8 dx}{\left(\left(4 x + 12 x\right) + 7\right)^{\frac{3}{2}}}$ y ponemos $du$:

         $\int \left(- 2 \left(- \frac{7}{16} + \frac{1}{16 u^{2}}\right)^{2} + \frac{49}{128} - \frac{7}{128 u^{2}}\right)\, du$

         1. Integramos término a término:

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- 2 \left(- \frac{7}{16} + \frac{1}{16 u^{2}}\right)^{2}\right)\, du = - 2 \int \left(- \frac{7}{16} + \frac{1}{16 u^{2}}\right)^{2}\, du$

               1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

                  Método #1

                  1. Vuelva a escribir el integrando:

                     $\left(- \frac{7}{16} + \frac{1}{16 u^{2}}\right)^{2} = \frac{49}{256} - \frac{7}{128 u^{2}} + \frac{1}{256 u^{4}}$

                  2. Integramos término a término:

                     1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                        $\int \frac{49}{256}\, du = \frac{49 u}{256}$

                     1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                        $\int \left(- \frac{7}{128 u^{2}}\right)\, du = - \frac{7 \int \frac{1}{u^{2}}\, du}{128}$

                        1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                           $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$

                        Por lo tanto, el resultado es: $\frac{7}{128 u}$

                     1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                        $\int \frac{1}{256 u^{4}}\, du = \frac{\int \frac{1}{u^{4}}\, du}{256}$

                        1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                           $\int \frac{1}{u^{4}}\, du = - \frac{1}{3 u^{3}}$

                        Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{1}{768 u^{3}}$

                     El resultado es: $\frac{49 u}{256} + \frac{7}{128 u} - \frac{1}{768 u^{3}}$

                  Método #2

                  1. Vuelva a escribir el integrando:

                     $\left(- \frac{7}{16} + \frac{1}{16 u^{2}}\right)^{2} = \frac{49 u^{4} - 14 u^{2} + 1}{256 u^{4}}$

                  2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \frac{49 u^{4} - 14 u^{2} + 1}{256 u^{4}}\, du = \frac{\int \frac{49 u^{4} - 14 u^{2} + 1}{u^{4}}\, du}{256}$

                     1. Vuelva a escribir el integrando:

                        $\frac{49 u^{4} - 14 u^{2} + 1}{u^{4}} = 49 - \frac{14}{u^{2}} + \frac{1}{u^{4}}$

                     2. Integramos término a término:

                        1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                           $\int 49\, du = 49 u$

                        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                           $\int \left(- \frac{14}{u^{2}}\right)\, du = - 14 \int \frac{1}{u^{2}}\, du$

                           1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                              $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$

                           Por lo tanto, el resultado es: $\frac{14}{u}$

                        1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                           $\int \frac{1}{u^{4}}\, du = - \frac{1}{3 u^{3}}$

                        El resultado es: $49 u + \frac{14}{u} - \frac{1}{3 u^{3}}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $\frac{49 u}{256} + \frac{7}{128 u} - \frac{1}{768 u^{3}}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{49 u}{128} - \frac{7}{64 u} + \frac{1}{384 u^{3}}$

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int \frac{49}{128}\, du = \frac{49 u}{128}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- \frac{7}{128 u^{2}}\right)\, du = - \frac{7 \int \frac{1}{u^{2}}\, du}{128}$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{7}{128 u}$

            El resultado es: $- \frac{7}{128 u} + \frac{1}{384 u^{3}}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{\left(\left(4 x + 12 x\right) + 7\right)^{\frac{3}{2}}}{384} - \frac{7 \sqrt{\left(4 x + 12 x\right) + 7}}{128}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{2}{\sqrt{\left(4 x + 12 x\right) + 7}}\, dx = 2 \int \frac{1}{\sqrt{\left(4 x + 12 x\right) + 7}}\, dx$

         1. que $u = \left(4 x + 12 x\right) + 7$.

            Luego que $du = 16 dx$ y ponemos $\frac{du}{16}$:

            $\int \frac{1}{16 \sqrt{u}}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = \frac{\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du}{16}$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = 2 \sqrt{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sqrt{u}}{8}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\sqrt{\left(4 x + 12 x\right) + 7}}{8}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sqrt{\left(4 x + 12 x\right) + 7}}{4}$

      El resultado es: $\frac{\left(\left(4 x + 12 x\right) + 7\right)^{\frac{3}{2}}}{384} + \frac{25 \sqrt{\left(4 x + 12 x\right) + 7}}{128}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{\left(8 x + 41\right) \sqrt{16 x + 7}}{192}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\left(8 x + 41\right) \sqrt{16 x + 7}}{192}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\left(8 x + 41\right) \sqrt{16 x + 7}}{192}+ \mathrm{constant}$