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Resolución de integrales/ (x+2)/ 4*x+1/ (x+2)/sqrt(4*x+12*x+7)

Integral de (x+2)/sqrt(4*x+12*x+7) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                      
  /                      
 |                       
 |        x + 2          
 |  ------------------ dx
 |    ________________   
 |  \/ 4*x + 12*x + 7    
 |                       
/                        
0
∫01x+2(4x+12x)+7 dx\int\limits_{0}^{1} \frac{x + 2}{\sqrt{\left(4 x + 12 x\right) + 7}}\, dx 
Integral((x + 2)/sqrt(4*x + 12*x + 7), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=(4x+12x)+7u = \sqrt{\left(4 x + 12 x\right) + 7}.

      Luego que du=8dx(4x+12x)+7du = \frac{8 dx}{\sqrt{\left(4 x + 12 x\right) + 7}} y ponemos dudu:

      ∫(u2128+25128) du\int \left(\frac{u^{2}}{128} + \frac{25}{128}\right)\, du

      1. Integramos término a término:

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫u2128 du=∫u2 du128\int \frac{u^{2}}{128}\, du = \frac{\int u^{2}\, du}{128}

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫u2 du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

          Por lo tanto, el resultado es: u3384\frac{u^{3}}{384}

        1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

          ∫25128 du=25u128\int \frac{25}{128}\, du = \frac{25 u}{128}

        El resultado es: u3384+25u128\frac{u^{3}}{384} + \frac{25 u}{128}

      Si ahora sustituir uu más en:

      ((4x+12x)+7)32384+25(4x+12x)+7128\frac{\left(\left(4 x + 12 x\right) + 7\right)^{\frac{3}{2}}}{384} + \frac{25 \sqrt{\left(4 x + 12 x\right) + 7}}{128}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      x+2(4x+12x)+7=x(4x+12x)+7+2(4x+12x)+7\frac{x + 2}{\sqrt{\left(4 x + 12 x\right) + 7}} = \frac{x}{\sqrt{\left(4 x + 12 x\right) + 7}} + \frac{2}{\sqrt{\left(4 x + 12 x\right) + 7}}

    2. Integramos término a término:

      1. que u=1(4x+12x)+7u = \frac{1}{\sqrt{\left(4 x + 12 x\right) + 7}}.

        Luego que du=−8dx((4x+12x)+7)32du = - \frac{8 dx}{\left(\left(4 x + 12 x\right) + 7\right)^{\frac{3}{2}}} y ponemos dudu:

        ∫(−2(−716+116u2)2+49128−7128u2) du\int \left(- 2 \left(- \frac{7}{16} + \frac{1}{16 u^{2}}\right)^{2} + \frac{49}{128} - \frac{7}{128 u^{2}}\right)\, du

        1. Integramos término a término:

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫(−2(−716+116u2)2) du=−2∫(−716+116u2)2 du\int \left(- 2 \left(- \frac{7}{16} + \frac{1}{16 u^{2}}\right)^{2}\right)\, du = - 2 \int \left(- \frac{7}{16} + \frac{1}{16 u^{2}}\right)^{2}\, du

            1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

              Método #1

              1. Vuelva a escribir el integrando:

                (−716+116u2)2=49256−7128u2+1256u4\left(- \frac{7}{16} + \frac{1}{16 u^{2}}\right)^{2} = \frac{49}{256} - \frac{7}{128 u^{2}} + \frac{1}{256 u^{4}}

              2. Integramos término a término:

                1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  ∫49256 du=49u256\int \frac{49}{256}\, du = \frac{49 u}{256}

                1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  ∫(−7128u2) du=−7∫1u2 du128\int \left(- \frac{7}{128 u^{2}}\right)\, du = - \frac{7 \int \frac{1}{u^{2}}\, du}{128}

                  1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                    ∫1u2 du=−1u\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}

                  Por lo tanto, el resultado es: 7128u\frac{7}{128 u}

                1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  ∫1256u4 du=∫1u4 du256\int \frac{1}{256 u^{4}}\, du = \frac{\int \frac{1}{u^{4}}\, du}{256}

                  1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                    ∫1u4 du=−13u3\int \frac{1}{u^{4}}\, du = - \frac{1}{3 u^{3}}

                  Por lo tanto, el resultado es: −1768u3- \frac{1}{768 u^{3}}

                El resultado es: 49u256+7128u−1768u3\frac{49 u}{256} + \frac{7}{128 u} - \frac{1}{768 u^{3}}

              Método #2

              1. Vuelva a escribir el integrando:

                (−716+116u2)2=49u4−14u2+1256u4\left(- \frac{7}{16} + \frac{1}{16 u^{2}}\right)^{2} = \frac{49 u^{4} - 14 u^{2} + 1}{256 u^{4}}

              2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫49u4−14u2+1256u4 du=∫49u4−14u2+1u4 du256\int \frac{49 u^{4} - 14 u^{2} + 1}{256 u^{4}}\, du = \frac{\int \frac{49 u^{4} - 14 u^{2} + 1}{u^{4}}\, du}{256}

                1. Vuelva a escribir el integrando:

                  49u4−14u2+1u4=49−14u2+1u4\frac{49 u^{4} - 14 u^{2} + 1}{u^{4}} = 49 - \frac{14}{u^{2}} + \frac{1}{u^{4}}

                2. Integramos término a término:

                  1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                    ∫49 du=49u\int 49\, du = 49 u

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                    ∫(−14u2) du=−14∫1u2 du\int \left(- \frac{14}{u^{2}}\right)\, du = - 14 \int \frac{1}{u^{2}}\, du

                    1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                      ∫1u2 du=−1u\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}

                    Por lo tanto, el resultado es: 14u\frac{14}{u}

                  1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                    ∫1u4 du=−13u3\int \frac{1}{u^{4}}\, du = - \frac{1}{3 u^{3}}

                  El resultado es: 49u+14u−13u349 u + \frac{14}{u} - \frac{1}{3 u^{3}}

                Por lo tanto, el resultado es: 49u256+7128u−1768u3\frac{49 u}{256} + \frac{7}{128 u} - \frac{1}{768 u^{3}}

            Por lo tanto, el resultado es: −49u128−764u+1384u3- \frac{49 u}{128} - \frac{7}{64 u} + \frac{1}{384 u^{3}}

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫49128 du=49u128\int \frac{49}{128}\, du = \frac{49 u}{128}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫(−7128u2) du=−7∫1u2 du128\int \left(- \frac{7}{128 u^{2}}\right)\, du = - \frac{7 \int \frac{1}{u^{2}}\, du}{128}

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫1u2 du=−1u\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}

            Por lo tanto, el resultado es: 7128u\frac{7}{128 u}

          El resultado es: −7128u+1384u3- \frac{7}{128 u} + \frac{1}{384 u^{3}}

        Si ahora sustituir uu más en:

        ((4x+12x)+7)32384−7(4x+12x)+7128\frac{\left(\left(4 x + 12 x\right) + 7\right)^{\frac{3}{2}}}{384} - \frac{7 \sqrt{\left(4 x + 12 x\right) + 7}}{128}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫2(4x+12x)+7 dx=2∫1(4x+12x)+7 dx\int \frac{2}{\sqrt{\left(4 x + 12 x\right) + 7}}\, dx = 2 \int \frac{1}{\sqrt{\left(4 x + 12 x\right) + 7}}\, dx

        1. que u=(4x+12x)+7u = \left(4 x + 12 x\right) + 7.

          Luego que du=16dxdu = 16 dx y ponemos du16\frac{du}{16}:

          ∫116u du\int \frac{1}{16 \sqrt{u}}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫1u du=∫1u du16\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = \frac{\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du}{16}

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫1u du=2u\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = 2 \sqrt{u}

            Por lo tanto, el resultado es: u8\frac{\sqrt{u}}{8}

          Si ahora sustituir uu más en:

          (4x+12x)+78\frac{\sqrt{\left(4 x + 12 x\right) + 7}}{8}

        Por lo tanto, el resultado es: (4x+12x)+74\frac{\sqrt{\left(4 x + 12 x\right) + 7}}{4}

      El resultado es: ((4x+12x)+7)32384+25(4x+12x)+7128\frac{\left(\left(4 x + 12 x\right) + 7\right)^{\frac{3}{2}}}{384} + \frac{25 \sqrt{\left(4 x + 12 x\right) + 7}}{128}

  2. Ahora simplificar:

    (8x+41)16x+7192\frac{\left(8 x + 41\right) \sqrt{16 x + 7}}{192}

  3. Añadimos la constante de integración:

    (8x+41)16x+7192+constant\frac{\left(8 x + 41\right) \sqrt{16 x + 7}}{192}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

(8x+41)16x+7192+constant\frac{\left(8 x + 41\right) \sqrt{16 x + 7}}{192}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                                       
 |                                             3/2        ________________
 |       x + 2                 (4*x + 12*x + 7)      25*\/ 4*x + 12*x + 7 
 | ------------------ dx = C + ------------------- + ---------------------
 |   ________________                  384                    128         
 | \/ 4*x + 12*x + 7                                                      
 |                                                                        
/
∫x+2(4x+12x)+7 dx=C+((4x+12x)+7)32384+25(4x+12x)+7128\int \frac{x + 2}{\sqrt{\left(4 x + 12 x\right) + 7}}\, dx = C + \frac{\left(\left(4 x + 12 x\right) + 7\right)^{\frac{3}{2}}}{384} + \frac{25 \sqrt{\left(4 x + 12 x\right) + 7}}{128}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.900.51.5
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
       ___        ____
  41*\/ 7    49*\/ 23 
- -------- + ---------
    192         192
−417192+4923192- \frac{41 \sqrt{7}}{192} + \frac{49 \sqrt{23}}{192} 
=
= 
       ___        ____
  41*\/ 7    49*\/ 23 
- -------- + ---------
    192         192
−417192+4923192- \frac{41 \sqrt{7}}{192} + \frac{49 \sqrt{23}}{192} 
-41*sqrt(7)/192 + 49*sqrt(23)/192
Respuesta numérica [src] 
0.658958025461849
0.658958025461849

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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