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Resolución de integrales/ tg(x)/ (x)^2/ sin(x)/ ctg(x)^9/((sin(x)^2))

Integral de ctg(x)^9/((sin(x)^2)) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
 pi           
 --           
 3            
  /           
 |            
 |     9      
 |  cot (x)   
 |  ------- dx
 |     2      
 |  sin (x)   
 |            
/             
pi            
--            
4
∫π4π3cot⁡9(x)sin⁡2(x) dx\int\limits_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\cot^{9}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}\, dx 
Integral(cot(x)^9/sin(x)^2, (x, pi/4, pi/3))
Solución detallada

  1. Vuelva a escribir el integrando:

    cot⁡9(x)csc⁡2(x)=(csc⁡2(x)−1)4cot⁡(x)csc⁡2(x)\cot^{9}{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)} = \left(\csc^{2}{\left(x \right)} - 1\right)^{4} \cot{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)}

  2. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=csc⁡2(x)−1u = \csc^{2}{\left(x \right)} - 1.

      Luego que du=−2cot⁡(x)csc⁡2(x)dxdu = - 2 \cot{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)} dx y ponemos −du2- \frac{du}{2}:

      ∫(−u42) du\int \left(- \frac{u^{4}}{2}\right)\, du

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫u4 du=−∫u4 du2\int u^{4}\, du = - \frac{\int u^{4}\, du}{2}

        1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫u4 du=u55\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}

        Por lo tanto, el resultado es: −u510- \frac{u^{5}}{10}

      Si ahora sustituir uu más en:

      −(csc⁡2(x)−1)510- \frac{\left(\csc^{2}{\left(x \right)} - 1\right)^{5}}{10}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (csc⁡2(x)−1)4cot⁡(x)csc⁡2(x)=cot⁡(x)csc⁡10(x)−4cot⁡(x)csc⁡8(x)+6cot⁡(x)csc⁡6(x)−4cot⁡(x)csc⁡4(x)+cot⁡(x)csc⁡2(x)\left(\csc^{2}{\left(x \right)} - 1\right)^{4} \cot{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)} = \cot{\left(x \right)} \csc^{10}{\left(x \right)} - 4 \cot{\left(x \right)} \csc^{8}{\left(x \right)} + 6 \cot{\left(x \right)} \csc^{6}{\left(x \right)} - 4 \cot{\left(x \right)} \csc^{4}{\left(x \right)} + \cot{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. que u=csc⁡(x)u = \csc{\left(x \right)}.

        Luego que du=−cot⁡(x)csc⁡(x)dxdu = - \cot{\left(x \right)} \csc{\left(x \right)} dx y ponemos −du- du:

        ∫(−u9) du\int \left(- u^{9}\right)\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫u9 du=−∫u9 du\int u^{9}\, du = - \int u^{9}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫u9 du=u1010\int u^{9}\, du = \frac{u^{10}}{10}

          Por lo tanto, el resultado es: −u1010- \frac{u^{10}}{10}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −csc⁡10(x)10- \frac{\csc^{10}{\left(x \right)}}{10}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−4cot⁡(x)csc⁡8(x)) dx=−4∫cot⁡(x)csc⁡8(x) dx\int \left(- 4 \cot{\left(x \right)} \csc^{8}{\left(x \right)}\right)\, dx = - 4 \int \cot{\left(x \right)} \csc^{8}{\left(x \right)}\, dx

        1. que u=csc⁡(x)u = \csc{\left(x \right)}.

          Luego que du=−cot⁡(x)csc⁡(x)dxdu = - \cot{\left(x \right)} \csc{\left(x \right)} dx y ponemos −du- du:

          ∫(−u7) du\int \left(- u^{7}\right)\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫u7 du=−∫u7 du\int u^{7}\, du = - \int u^{7}\, du

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫u7 du=u88\int u^{7}\, du = \frac{u^{8}}{8}

            Por lo tanto, el resultado es: −u88- \frac{u^{8}}{8}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −csc⁡8(x)8- \frac{\csc^{8}{\left(x \right)}}{8}

        Por lo tanto, el resultado es: csc⁡8(x)2\frac{\csc^{8}{\left(x \right)}}{2}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫6cot⁡(x)csc⁡6(x) dx=6∫cot⁡(x)csc⁡6(x) dx\int 6 \cot{\left(x \right)} \csc^{6}{\left(x \right)}\, dx = 6 \int \cot{\left(x \right)} \csc^{6}{\left(x \right)}\, dx

        1. que u=csc⁡(x)u = \csc{\left(x \right)}.

          Luego que du=−cot⁡(x)csc⁡(x)dxdu = - \cot{\left(x \right)} \csc{\left(x \right)} dx y ponemos −du- du:

          ∫(−u5) du\int \left(- u^{5}\right)\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫u5 du=−∫u5 du\int u^{5}\, du = - \int u^{5}\, du

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫u5 du=u66\int u^{5}\, du = \frac{u^{6}}{6}

            Por lo tanto, el resultado es: −u66- \frac{u^{6}}{6}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −csc⁡6(x)6- \frac{\csc^{6}{\left(x \right)}}{6}

        Por lo tanto, el resultado es: −csc⁡6(x)- \csc^{6}{\left(x \right)}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−4cot⁡(x)csc⁡4(x)) dx=−4∫cot⁡(x)csc⁡4(x) dx\int \left(- 4 \cot{\left(x \right)} \csc^{4}{\left(x \right)}\right)\, dx = - 4 \int \cot{\left(x \right)} \csc^{4}{\left(x \right)}\, dx

        1. que u=csc⁡(x)u = \csc{\left(x \right)}.

          Luego que du=−cot⁡(x)csc⁡(x)dxdu = - \cot{\left(x \right)} \csc{\left(x \right)} dx y ponemos −du- du:

          ∫(−u3) du\int \left(- u^{3}\right)\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫u3 du=−∫u3 du\int u^{3}\, du = - \int u^{3}\, du

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫u3 du=u44\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}

            Por lo tanto, el resultado es: −u44- \frac{u^{4}}{4}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −csc⁡4(x)4- \frac{\csc^{4}{\left(x \right)}}{4}

        Por lo tanto, el resultado es: csc⁡4(x)\csc^{4}{\left(x \right)}

      1. que u=csc⁡(x)u = \csc{\left(x \right)}.

        Luego que du=−cot⁡(x)csc⁡(x)dxdu = - \cot{\left(x \right)} \csc{\left(x \right)} dx y ponemos −du- du:

        ∫(−u) du\int \left(- u\right)\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫u du=−∫u du\int u\, du = - \int u\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫u du=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

          Por lo tanto, el resultado es: −u22- \frac{u^{2}}{2}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −csc⁡2(x)2- \frac{\csc^{2}{\left(x \right)}}{2}

      El resultado es: −csc⁡10(x)10+csc⁡8(x)2−csc⁡6(x)+csc⁡4(x)−csc⁡2(x)2- \frac{\csc^{10}{\left(x \right)}}{10} + \frac{\csc^{8}{\left(x \right)}}{2} - \csc^{6}{\left(x \right)} + \csc^{4}{\left(x \right)} - \frac{\csc^{2}{\left(x \right)}}{2}

    Método #3

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (csc⁡2(x)−1)4cot⁡(x)csc⁡2(x)=cot⁡(x)csc⁡10(x)−4cot⁡(x)csc⁡8(x)+6cot⁡(x)csc⁡6(x)−4cot⁡(x)csc⁡4(x)+cot⁡(x)csc⁡2(x)\left(\csc^{2}{\left(x \right)} - 1\right)^{4} \cot{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)} = \cot{\left(x \right)} \csc^{10}{\left(x \right)} - 4 \cot{\left(x \right)} \csc^{8}{\left(x \right)} + 6 \cot{\left(x \right)} \csc^{6}{\left(x \right)} - 4 \cot{\left(x \right)} \csc^{4}{\left(x \right)} + \cot{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. que u=csc⁡(x)u = \csc{\left(x \right)}.

        Luego que du=−cot⁡(x)csc⁡(x)dxdu = - \cot{\left(x \right)} \csc{\left(x \right)} dx y ponemos −du- du:

        ∫(−u9) du\int \left(- u^{9}\right)\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫u9 du=−∫u9 du\int u^{9}\, du = - \int u^{9}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫u9 du=u1010\int u^{9}\, du = \frac{u^{10}}{10}

          Por lo tanto, el resultado es: −u1010- \frac{u^{10}}{10}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −csc⁡10(x)10- \frac{\csc^{10}{\left(x \right)}}{10}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−4cot⁡(x)csc⁡8(x)) dx=−4∫cot⁡(x)csc⁡8(x) dx\int \left(- 4 \cot{\left(x \right)} \csc^{8}{\left(x \right)}\right)\, dx = - 4 \int \cot{\left(x \right)} \csc^{8}{\left(x \right)}\, dx

        1. que u=csc⁡(x)u = \csc{\left(x \right)}.

          Luego que du=−cot⁡(x)csc⁡(x)dxdu = - \cot{\left(x \right)} \csc{\left(x \right)} dx y ponemos −du- du:

          ∫(−u7) du\int \left(- u^{7}\right)\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫u7 du=−∫u7 du\int u^{7}\, du = - \int u^{7}\, du

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫u7 du=u88\int u^{7}\, du = \frac{u^{8}}{8}

            Por lo tanto, el resultado es: −u88- \frac{u^{8}}{8}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −csc⁡8(x)8- \frac{\csc^{8}{\left(x \right)}}{8}

        Por lo tanto, el resultado es: csc⁡8(x)2\frac{\csc^{8}{\left(x \right)}}{2}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫6cot⁡(x)csc⁡6(x) dx=6∫cot⁡(x)csc⁡6(x) dx\int 6 \cot{\left(x \right)} \csc^{6}{\left(x \right)}\, dx = 6 \int \cot{\left(x \right)} \csc^{6}{\left(x \right)}\, dx

        1. que u=csc⁡(x)u = \csc{\left(x \right)}.

          Luego que du=−cot⁡(x)csc⁡(x)dxdu = - \cot{\left(x \right)} \csc{\left(x \right)} dx y ponemos −du- du:

          ∫(−u5) du\int \left(- u^{5}\right)\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫u5 du=−∫u5 du\int u^{5}\, du = - \int u^{5}\, du

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫u5 du=u66\int u^{5}\, du = \frac{u^{6}}{6}

            Por lo tanto, el resultado es: −u66- \frac{u^{6}}{6}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −csc⁡6(x)6- \frac{\csc^{6}{\left(x \right)}}{6}

        Por lo tanto, el resultado es: −csc⁡6(x)- \csc^{6}{\left(x \right)}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−4cot⁡(x)csc⁡4(x)) dx=−4∫cot⁡(x)csc⁡4(x) dx\int \left(- 4 \cot{\left(x \right)} \csc^{4}{\left(x \right)}\right)\, dx = - 4 \int \cot{\left(x \right)} \csc^{4}{\left(x \right)}\, dx

        1. que u=csc⁡(x)u = \csc{\left(x \right)}.

          Luego que du=−cot⁡(x)csc⁡(x)dxdu = - \cot{\left(x \right)} \csc{\left(x \right)} dx y ponemos −du- du:

          ∫(−u3) du\int \left(- u^{3}\right)\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫u3 du=−∫u3 du\int u^{3}\, du = - \int u^{3}\, du

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫u3 du=u44\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}

            Por lo tanto, el resultado es: −u44- \frac{u^{4}}{4}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −csc⁡4(x)4- \frac{\csc^{4}{\left(x \right)}}{4}

        Por lo tanto, el resultado es: csc⁡4(x)\csc^{4}{\left(x \right)}

      1. que u=csc⁡(x)u = \csc{\left(x \right)}.

        Luego que du=−cot⁡(x)csc⁡(x)dxdu = - \cot{\left(x \right)} \csc{\left(x \right)} dx y ponemos −du- du:

        ∫(−u) du\int \left(- u\right)\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫u du=−∫u du\int u\, du = - \int u\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫u du=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

          Por lo tanto, el resultado es: −u22- \frac{u^{2}}{2}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −csc⁡2(x)2- \frac{\csc^{2}{\left(x \right)}}{2}

      El resultado es: −csc⁡10(x)10+csc⁡8(x)2−csc⁡6(x)+csc⁡4(x)−csc⁡2(x)2- \frac{\csc^{10}{\left(x \right)}}{10} + \frac{\csc^{8}{\left(x \right)}}{2} - \csc^{6}{\left(x \right)} + \csc^{4}{\left(x \right)} - \frac{\csc^{2}{\left(x \right)}}{2}

  3. Ahora simplificar:

    −110tan⁡10(x)- \frac{1}{10 \tan^{10}{\left(x \right)}}

  4. Añadimos la constante de integración:

    −110tan⁡10(x)+constant- \frac{1}{10 \tan^{10}{\left(x \right)}}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

−110tan⁡10(x)+constant- \frac{1}{10 \tan^{10}{\left(x \right)}}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                
 |                                5
 |    9             /        2   \ 
 | cot (x)          \-1 + csc (x)/ 
 | ------- dx = C - ---------------
 |    2                    10      
 | sin (x)                         
 |                                 
/
∫cot⁡9(x)sin⁡2(x) dx=C−(csc⁡2(x)−1)510\int \frac{\cot^{9}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}\, dx = C - \frac{\left(\csc^{2}{\left(x \right)} - 1\right)^{5}}{10}
Simplificar
Gráfica
0.8000.8250.8500.8750.9000.9250.9500.9751.0001.0252.5-2.5
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
121 
----
1215
1211215\frac{121}{1215} 
=
= 
121 
----
1215
1211215\frac{121}{1215} 
121/1215
Respuesta numérica [src] 
0.0995884773662552
0.0995884773662552

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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