Sr Examen

Integral de sinx*ln(tanx) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
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 |  sin(x)*log(tan(x)) dx
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0                        
01log(tan(x))sin(x)dx\int\limits_{0}^{1} \log{\left(\tan{\left(x \right)} \right)} \sin{\left(x \right)}\, dx
Integral(sin(x)*log(tan(x)), (x, 0, 1))
Solución detallada
  1. Usamos la integración por partes:

    udv=uvvdu\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

    que u(x)=log(tan(x))u{\left(x \right)} = \log{\left(\tan{\left(x \right)} \right)} y que dv(x)=sin(x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}.

    Entonces du(x)=tan2(x)+1tan(x)\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{\tan^{2}{\left(x \right)} + 1}{\tan{\left(x \right)}}.

    Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

    1. La integral del seno es un coseno menos:

      sin(x)dx=cos(x)\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}

    Ahora resolvemos podintegral.

  2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

    ((tan2(x)+1)cos(x)tan(x))dx=(tan2(x)+1)cos(x)tan(x)dx\int \left(- \frac{\left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \cos{\left(x \right)}}{\tan{\left(x \right)}}\right)\, dx = - \int \frac{\left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \cos{\left(x \right)}}{\tan{\left(x \right)}}\, dx

    1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        (tan2(x)+1)cos(x)tan(x)=cos(x)tan2(x)+cos(x)tan(x)\frac{\left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \cos{\left(x \right)}}{\tan{\left(x \right)}} = \frac{\cos{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}}{\tan{\left(x \right)}}

      2. Vuelva a escribir el integrando:

        cos(x)tan2(x)+cos(x)tan(x)=cos(x)tan(x)+cos(x)tan(x)\frac{\cos{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}}{\tan{\left(x \right)}} = \cos{\left(x \right)} \tan{\left(x \right)} + \frac{\cos{\left(x \right)}}{\tan{\left(x \right)}}

      3. Integramos término a término:

        1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

          Pero la integral

          cos(x)- \cos{\left(x \right)}

        1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

          Pero la integral

          log(cos(x)1)2log(cos(x)+1)2+cos(x)\frac{\log{\left(\cos{\left(x \right)} - 1 \right)}}{2} - \frac{\log{\left(\cos{\left(x \right)} + 1 \right)}}{2} + \cos{\left(x \right)}

        El resultado es: log(cos(x)1)2log(cos(x)+1)2\frac{\log{\left(\cos{\left(x \right)} - 1 \right)}}{2} - \frac{\log{\left(\cos{\left(x \right)} + 1 \right)}}{2}

      Método #2

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        (tan2(x)+1)cos(x)tan(x)=cos(x)tan(x)+cos(x)tan(x)\frac{\left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \cos{\left(x \right)}}{\tan{\left(x \right)}} = \cos{\left(x \right)} \tan{\left(x \right)} + \frac{\cos{\left(x \right)}}{\tan{\left(x \right)}}

      2. Integramos término a término:

        1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

          Pero la integral

          cos(x)- \cos{\left(x \right)}

        1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

          Pero la integral

          log(cos(x)1)2log(cos(x)+1)2+cos(x)\frac{\log{\left(\cos{\left(x \right)} - 1 \right)}}{2} - \frac{\log{\left(\cos{\left(x \right)} + 1 \right)}}{2} + \cos{\left(x \right)}

        El resultado es: log(cos(x)1)2log(cos(x)+1)2\frac{\log{\left(\cos{\left(x \right)} - 1 \right)}}{2} - \frac{\log{\left(\cos{\left(x \right)} + 1 \right)}}{2}

    Por lo tanto, el resultado es: log(cos(x)1)2+log(cos(x)+1)2- \frac{\log{\left(\cos{\left(x \right)} - 1 \right)}}{2} + \frac{\log{\left(\cos{\left(x \right)} + 1 \right)}}{2}

  3. Añadimos la constante de integración:

    log(cos(x)1)2log(cos(x)+1)2log(tan(x))cos(x)+constant\frac{\log{\left(\cos{\left(x \right)} - 1 \right)}}{2} - \frac{\log{\left(\cos{\left(x \right)} + 1 \right)}}{2} - \log{\left(\tan{\left(x \right)} \right)} \cos{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}


Respuesta:

log(cos(x)1)2log(cos(x)+1)2log(tan(x))cos(x)+constant\frac{\log{\left(\cos{\left(x \right)} - 1 \right)}}{2} - \frac{\log{\left(\cos{\left(x \right)} + 1 \right)}}{2} - \log{\left(\tan{\left(x \right)} \right)} \cos{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src]
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 |                             log(-1 + cos(x))   log(1 + cos(x))                     
 | sin(x)*log(tan(x)) dx = C + ---------------- - --------------- - cos(x)*log(tan(x))
 |                                    2                  2                            
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log(tan(x))sin(x)dx=C+log(cos(x)1)2log(cos(x)+1)2log(tan(x))cos(x)\int \log{\left(\tan{\left(x \right)} \right)} \sin{\left(x \right)}\, dx = C + \frac{\log{\left(\cos{\left(x \right)} - 1 \right)}}{2} - \frac{\log{\left(\cos{\left(x \right)} + 1 \right)}}{2} - \log{\left(\tan{\left(x \right)} \right)} \cos{\left(x \right)}
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.901.0-1.0
Respuesta [src]
log(1 - cos(1))   log(1 + cos(1))                              
--------------- - --------------- - cos(1)*log(tan(1)) + log(2)
       2                 2                                     
log(1cos(1))2log(tan(1))cos(1)log(cos(1)+1)2+log(2)\frac{\log{\left(1 - \cos{\left(1 \right)} \right)}}{2} - \log{\left(\tan{\left(1 \right)} \right)} \cos{\left(1 \right)} - \frac{\log{\left(\cos{\left(1 \right)} + 1 \right)}}{2} + \log{\left(2 \right)}
=
=
log(1 - cos(1))   log(1 + cos(1))                              
--------------- - --------------- - cos(1)*log(tan(1)) + log(2)
       2                 2                                     
log(1cos(1))2log(tan(1))cos(1)log(cos(1)+1)2+log(2)\frac{\log{\left(1 - \cos{\left(1 \right)} \right)}}{2} - \log{\left(\tan{\left(1 \right)} \right)} \cos{\left(1 \right)} - \frac{\log{\left(\cos{\left(1 \right)} + 1 \right)}}{2} + \log{\left(2 \right)}
log(1 - cos(1))/2 - log(1 + cos(1))/2 - cos(1)*log(tan(1)) + log(2)
Respuesta numérica [src]
-0.150801464774004
-0.150801464774004

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.