Integral de sinx*ln(tanx) dx

1. Usamos la integración por partes:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   que $u{\left(x \right)} = \log{\left(\tan{\left(x \right)} \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$.

   Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{\tan^{2}{\left(x \right)} + 1}{\tan{\left(x \right)}}$.

   Para buscar $v{\left(x \right)}$:

   1. La integral del seno es un coseno menos:

      $\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}$

   Ahora resolvemos podintegral.

2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

   $\int \left(- \frac{\left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \cos{\left(x \right)}}{\tan{\left(x \right)}}\right)\, dx = - \int \frac{\left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \cos{\left(x \right)}}{\tan{\left(x \right)}}\, dx$

   1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{\left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \cos{\left(x \right)}}{\tan{\left(x \right)}} = \frac{\cos{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}}{\tan{\left(x \right)}}$

      2. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{\cos{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}}{\tan{\left(x \right)}} = \cos{\left(x \right)} \tan{\left(x \right)} + \frac{\cos{\left(x \right)}}{\tan{\left(x \right)}}$

      3. Integramos término a término:

         1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

            Pero la integral

            $- \cos{\left(x \right)}$

         1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

            Pero la integral

            $\frac{\log{\left(\cos{\left(x \right)} - 1 \right)}}{2} - \frac{\log{\left(\cos{\left(x \right)} + 1 \right)}}{2} + \cos{\left(x \right)}$

         El resultado es: $\frac{\log{\left(\cos{\left(x \right)} - 1 \right)}}{2} - \frac{\log{\left(\cos{\left(x \right)} + 1 \right)}}{2}$

      Método #2

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{\left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \cos{\left(x \right)}}{\tan{\left(x \right)}} = \cos{\left(x \right)} \tan{\left(x \right)} + \frac{\cos{\left(x \right)}}{\tan{\left(x \right)}}$

      2. Integramos término a término:

         1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

            Pero la integral

            $- \cos{\left(x \right)}$

         1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

            Pero la integral

            $\frac{\log{\left(\cos{\left(x \right)} - 1 \right)}}{2} - \frac{\log{\left(\cos{\left(x \right)} + 1 \right)}}{2} + \cos{\left(x \right)}$

         El resultado es: $\frac{\log{\left(\cos{\left(x \right)} - 1 \right)}}{2} - \frac{\log{\left(\cos{\left(x \right)} + 1 \right)}}{2}$

   Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\log{\left(\cos{\left(x \right)} - 1 \right)}}{2} + \frac{\log{\left(\cos{\left(x \right)} + 1 \right)}}{2}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\log{\left(\cos{\left(x \right)} - 1 \right)}}{2} - \frac{\log{\left(\cos{\left(x \right)} + 1 \right)}}{2} - \log{\left(\tan{\left(x \right)} \right)} \cos{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\log{\left(\cos{\left(x \right)} - 1 \right)}}{2} - \frac{\log{\left(\cos{\left(x \right)} + 1 \right)}}{2} - \log{\left(\tan{\left(x \right)} \right)} \cos{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$