Sr Examen
Integral de cot^a1/cosx dx
Solución
Ha introducido
[src]
pi -- 2 / | | a | cot (1) | ------- dx | cos(x) | / 0
$$\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cot^{a}{\left(1 \right)}}{\cos{\left(x \right)}}\, dx$$
Integral(cot(1)^a/cos(x), (x, 0, pi/2))
Solución detallada
Tenemos el integral:
/ | | a | cot (1) | ------- dx | cos(x) | /
La función subintegral
a cot (1) ------- cos(x)
Multiplicamos numerador y denominador por
cos(x)
obtendremos
a a
cot (1) cot (1)*cos(x)
------- = --------------
cos(x) 2
cos (x) Como
sin(a)^2 + cos(a)^2 = 1
entonces
2 2 cos (x) = 1 - sin (x)
cambiamos denominador
a a
cot (1)*cos(x) cot (1)*cos(x)
-------------- = --------------
2 2
cos (x) 1 - sin (x) hacemos el cambio
u = sin(x)
entonces integral
/ | | a | cot (1)*cos(x) | -------------- dx = | 2 | 1 - sin (x) | /
/ | | a | cot (1)*cos(x) | -------------- dx = | 2 | 1 - sin (x) | /
Como du = dx*cos(x)
/ | | a | cot (1) | ------- du | 2 | 1 - u | /
Reescribimos la función subintegral
a a
cot (1) cot (1) / 1 1 \
------- = -------*|----- + -----|
2 2 \1 - u 1 + u/
1 - u entonces
/ / / \
| | | |
a | | 1 | 1 |
/ cot (1)*| | ----- du + | ----- du|
| | | 1 + u | 1 - u |
| a | | | |
| cot (1) \/ / / =
| ------- du = -----------------------------------
| 2 2
| 1 - u
|
/
= -cot(1)^a*(log(-1 + u)/2 - log(1 + u)/2)
hacemos cambio inverso
u = sin(x)
Respuesta
/
|
| a
| cot (1) a /log(1 + sin(x)) log(-1 + sin(x))\
| ------- dx = cot (1)*|--------------- - ----------------| + C0
| cos(x) \ 2 2 /
|
/
donde C0 es la constante que no depende de x
Respuesta (Indefinida)
[src]
/ | | a | cot (1) a /log(1 + sin(x)) log(-1 + sin(x))\ | ------- dx = C + cot (1)*|--------------- - ----------------| | cos(x) \ 2 2 / | /
$$\int \frac{\cot^{a}{\left(1 \right)}}{\cos{\left(x \right)}}\, dx = C + \left(- \frac{\log{\left(\sin{\left(x \right)} - 1 \right)}}{2} + \frac{\log{\left(\sin{\left(x \right)} + 1 \right)}}{2}\right) \cot^{a}{\left(1 \right)}$$
Respuesta
[src]
a
/ a \ pi*I*cot (1)
oo*sign\cot (1)/ + ------------
2
$$\frac{i \pi \cot^{a}{\left(1 \right)}}{2} + \infty \operatorname{sign}{\left(\cot^{a}{\left(1 \right)} \right)}$$
=
=
a
/ a \ pi*I*cot (1)
oo*sign\cot (1)/ + ------------
2
$$\frac{i \pi \cot^{a}{\left(1 \right)}}{2} + \infty \operatorname{sign}{\left(\cot^{a}{\left(1 \right)} \right)}$$
oo*sign(cot(1)^a) + pi*i*cot(1)^a/2
Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.