Integral de sin(5x)^3/cos(5x)^5 dx

1. Vuelva a escribir el integrando:

   $\frac{\sin^{3}{\left(5 x \right)}}{\cos^{5}{\left(5 x \right)}} = \frac{\left(1 - \cos^{2}{\left(5 x \right)}\right) \sin{\left(5 x \right)}}{\cos^{5}{\left(5 x \right)}}$

2. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \cos{\left(5 x \right)}$.

      Luego que $du = - 5 \sin{\left(5 x \right)} dx$ y ponemos $\frac{du}{5}$:

      $\int \frac{u^{2} - 1}{5 u^{5}}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{u^{2} - 1}{u^{5}}\, du = \frac{\int \frac{u^{2} - 1}{u^{5}}\, du}{5}$

         1. que $u = u^{2}$.

            Luego que $du = 2 u du$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

            $\int \frac{u - 1}{2 u^{3}}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{u - 1}{u^{3}}\, du = \frac{\int \frac{u - 1}{u^{3}}\, du}{2}$

               1. Vuelva a escribir el integrando:

                  $\frac{u - 1}{u^{3}} = \frac{1}{u^{2}} - \frac{1}{u^{3}}$

               2. Integramos término a término:

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \left(- \frac{1}{u^{3}}\right)\, du = - \int \frac{1}{u^{3}}\, du$

                     1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                        $\int \frac{1}{u^{3}}\, du = - \frac{1}{2 u^{2}}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $\frac{1}{2 u^{2}}$

                  El resultado es: $- \frac{1}{u} + \frac{1}{2 u^{2}}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{1}{2 u} + \frac{1}{4 u^{2}}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{1}{2 u^{2}} + \frac{1}{4 u^{4}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{1}{10 u^{2}} + \frac{1}{20 u^{4}}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{1}{10 \cos^{2}{\left(5 x \right)}} + \frac{1}{20 \cos^{4}{\left(5 x \right)}}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{\left(1 - \cos^{2}{\left(5 x \right)}\right) \sin{\left(5 x \right)}}{\cos^{5}{\left(5 x \right)}} = - \frac{\sin{\left(5 x \right)} \cos^{2}{\left(5 x \right)} - \sin{\left(5 x \right)}}{\cos^{5}{\left(5 x \right)}}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- \frac{\sin{\left(5 x \right)} \cos^{2}{\left(5 x \right)} - \sin{\left(5 x \right)}}{\cos^{5}{\left(5 x \right)}}\right)\, dx = - \int \frac{\sin{\left(5 x \right)} \cos^{2}{\left(5 x \right)} - \sin{\left(5 x \right)}}{\cos^{5}{\left(5 x \right)}}\, dx$

      1. que $u = \cos{\left(5 x \right)}$.

         Luego que $du = - 5 \sin{\left(5 x \right)} dx$ y ponemos $- \frac{du}{5}$:

         $\int \left(- \frac{u^{2} - 1}{5 u^{5}}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{u^{2} - 1}{u^{5}}\, du = - \frac{\int \frac{u^{2} - 1}{u^{5}}\, du}{5}$

            1. que $u = u^{2}$.

               Luego que $du = 2 u du$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

               $\int \frac{u - 1}{2 u^{3}}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \frac{u - 1}{u^{3}}\, du = \frac{\int \frac{u - 1}{u^{3}}\, du}{2}$

                  1. Vuelva a escribir el integrando:

                     $\frac{u - 1}{u^{3}} = \frac{1}{u^{2}} - \frac{1}{u^{3}}$

                  2. Integramos término a término:

                     1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                        $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$

                     1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                        $\int \left(- \frac{1}{u^{3}}\right)\, du = - \int \frac{1}{u^{3}}\, du$

                        1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                           $\int \frac{1}{u^{3}}\, du = - \frac{1}{2 u^{2}}$

                        Por lo tanto, el resultado es: $\frac{1}{2 u^{2}}$

                     El resultado es: $- \frac{1}{u} + \frac{1}{2 u^{2}}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{1}{2 u} + \frac{1}{4 u^{2}}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $- \frac{1}{2 u^{2}} + \frac{1}{4 u^{4}}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{1}{10 u^{2}} - \frac{1}{20 u^{4}}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{1}{10 \cos^{2}{\left(5 x \right)}} - \frac{1}{20 \cos^{4}{\left(5 x \right)}}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{1}{10 \cos^{2}{\left(5 x \right)}} + \frac{1}{20 \cos^{4}{\left(5 x \right)}}$

   Método #3

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{\left(1 - \cos^{2}{\left(5 x \right)}\right) \sin{\left(5 x \right)}}{\cos^{5}{\left(5 x \right)}} = - \frac{\sin{\left(5 x \right)}}{\cos^{3}{\left(5 x \right)}} + \frac{\sin{\left(5 x \right)}}{\cos^{5}{\left(5 x \right)}}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{\sin{\left(5 x \right)}}{\cos^{3}{\left(5 x \right)}}\right)\, dx = - \int \frac{\sin{\left(5 x \right)}}{\cos^{3}{\left(5 x \right)}}\, dx$

         1. que $u = \cos{\left(5 x \right)}$.

            Luego que $du = - 5 \sin{\left(5 x \right)} dx$ y ponemos $- \frac{du}{5}$:

            $\int \left(- \frac{1}{5 u^{3}}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{1}{u^{3}}\, du = - \frac{\int \frac{1}{u^{3}}\, du}{5}$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{u^{3}}\, du = - \frac{1}{2 u^{2}}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{1}{10 u^{2}}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{1}{10 \cos^{2}{\left(5 x \right)}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{1}{10 \cos^{2}{\left(5 x \right)}}$

      1. que $u = \cos{\left(5 x \right)}$.

         Luego que $du = - 5 \sin{\left(5 x \right)} dx$ y ponemos $- \frac{du}{5}$:

         $\int \left(- \frac{1}{5 u^{5}}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{1}{u^{5}}\, du = - \frac{\int \frac{1}{u^{5}}\, du}{5}$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int \frac{1}{u^{5}}\, du = - \frac{1}{4 u^{4}}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{1}{20 u^{4}}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{1}{20 \cos^{4}{\left(5 x \right)}}$

      El resultado es: $- \frac{1}{10 \cos^{2}{\left(5 x \right)}} + \frac{1}{20 \cos^{4}{\left(5 x \right)}}$

3. Ahora simplificar:

   $- \frac{\cos{\left(10 x \right)}}{5 \left(\cos{\left(10 x \right)} + 1\right)^{2}}$

4. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{\cos{\left(10 x \right)}}{5 \left(\cos{\left(10 x \right)} + 1\right)^{2}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{\cos{\left(10 x \right)}}{5 \left(\cos{\left(10 x \right)} + 1\right)^{2}}+ \mathrm{constant}$