Integral de е^(-x)*sin(x) dx

1. que $u = - x$.

   Luego que $du = - dx$ y ponemos $du$:

   $\int e^{u} \sin{\left(u \right)}\, du$

   1. Usamos la integración por partes, notamos que al fin de cuentas el integrando se repite.

      1. Para el integrando $e^{u} \sin{\left(u \right)}$:

         que $u{\left(u \right)} = \sin{\left(u \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

         Entonces $\int e^{u} \sin{\left(u \right)}\, du = e^{u} \sin{\left(u \right)} - \int e^{u} \cos{\left(u \right)}\, du$.

      2. Para el integrando $e^{u} \cos{\left(u \right)}$:

         que $u{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

         Entonces $\int e^{u} \sin{\left(u \right)}\, du = e^{u} \sin{\left(u \right)} - e^{u} \cos{\left(u \right)} + \int \left(- e^{u} \sin{\left(u \right)}\right)\, du$.

      3. Tenga en cuenta que el integrando se repite, por eso lo movemos hacia el lado:

         $2 \int e^{u} \sin{\left(u \right)}\, du = e^{u} \sin{\left(u \right)} - e^{u} \cos{\left(u \right)}$

         Por lo tanto,

         $\int e^{u} \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{e^{u} \sin{\left(u \right)}}{2} - \frac{e^{u} \cos{\left(u \right)}}{2}$

   Si ahora sustituir $u$ más en:

   $- \frac{e^{- x} \sin{\left(x \right)}}{2} - \frac{e^{- x} \cos{\left(x \right)}}{2}$

2. Ahora simplificar:

   $- \frac{\sqrt{2} e^{- x} \sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}{2}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{\sqrt{2} e^{- x} \sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{\sqrt{2} e^{- x} \sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$