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Resolución de integrales/ 2*x+1/ 3*x-2/ ((2*x+1)*cos(3*x-2))

Integral de ((2*x+1)*cos(3*x-2)) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                          
  /                          
 |                           
 |  (2*x + 1)*cos(3*x - 2) dx
 |                           
/                            
0
∫01(2x+1)cos⁡(3x−2) dx\int\limits_{0}^{1} \left(2 x + 1\right) \cos{\left(3 x - 2 \right)}\, dx 
Integral((2*x + 1)*cos(3*x - 2), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (2x+1)cos⁡(3x−2)=2xcos⁡(3x−2)+cos⁡(3x−2)\left(2 x + 1\right) \cos{\left(3 x - 2 \right)} = 2 x \cos{\left(3 x - 2 \right)} + \cos{\left(3 x - 2 \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫2xcos⁡(3x−2) dx=2∫xcos⁡(3x−2) dx\int 2 x \cos{\left(3 x - 2 \right)}\, dx = 2 \int x \cos{\left(3 x - 2 \right)}\, dx

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=xu{\left(x \right)} = x y que dv⁡(x)=cos⁡(3x−2)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(3 x - 2 \right)}.

          Entonces du⁡(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. que u=3x−2u = 3 x - 2.

            Luego que du=3dxdu = 3 dx y ponemos du3\frac{du}{3}:

            ∫cos⁡(u)3 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{3}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du3\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{3}

              1. La integral del coseno es seno:

                ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)3\frac{\sin{\left(u \right)}}{3}

            Si ahora sustituir uu más en:

            sin⁡(3x−2)3\frac{\sin{\left(3 x - 2 \right)}}{3}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫sin⁡(3x−2)3 dx=∫sin⁡(3x−2) dx3\int \frac{\sin{\left(3 x - 2 \right)}}{3}\, dx = \frac{\int \sin{\left(3 x - 2 \right)}\, dx}{3}

          1. que u=3x−2u = 3 x - 2.

            Luego que du=3dxdu = 3 dx y ponemos du3\frac{du}{3}:

            ∫sin⁡(u)3 du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{3}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) du3\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{3}

              1. La integral del seno es un coseno menos:

                ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)3- \frac{\cos{\left(u \right)}}{3}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −cos⁡(3x−2)3- \frac{\cos{\left(3 x - 2 \right)}}{3}

          Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(3x−2)9- \frac{\cos{\left(3 x - 2 \right)}}{9}

        Por lo tanto, el resultado es: 2xsin⁡(3x−2)3+2cos⁡(3x−2)9\frac{2 x \sin{\left(3 x - 2 \right)}}{3} + \frac{2 \cos{\left(3 x - 2 \right)}}{9}

      1. que u=3x−2u = 3 x - 2.

        Luego que du=3dxdu = 3 dx y ponemos du3\frac{du}{3}:

        ∫cos⁡(u)3 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{3}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du3\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{3}

          1. La integral del coseno es seno:

            ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)3\frac{\sin{\left(u \right)}}{3}

        Si ahora sustituir uu más en:

        sin⁡(3x−2)3\frac{\sin{\left(3 x - 2 \right)}}{3}

      El resultado es: 2xsin⁡(3x−2)3+sin⁡(3x−2)3+2cos⁡(3x−2)9\frac{2 x \sin{\left(3 x - 2 \right)}}{3} + \frac{\sin{\left(3 x - 2 \right)}}{3} + \frac{2 \cos{\left(3 x - 2 \right)}}{9}

    Método #2

    1. Usamos la integración por partes:

      ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      que u(x)=2x+1u{\left(x \right)} = 2 x + 1 y que dv⁡(x)=cos⁡(3x−2)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(3 x - 2 \right)}.

      Entonces du⁡(x)=2\operatorname{du}{\left(x \right)} = 2.

      Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

      1. que u=3x−2u = 3 x - 2.

        Luego que du=3dxdu = 3 dx y ponemos du3\frac{du}{3}:

        ∫cos⁡(u)3 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{3}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du3\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{3}

          1. La integral del coseno es seno:

            ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)3\frac{\sin{\left(u \right)}}{3}

        Si ahora sustituir uu más en:

        sin⁡(3x−2)3\frac{\sin{\left(3 x - 2 \right)}}{3}

      Ahora resolvemos podintegral.

    2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫2sin⁡(3x−2)3 dx=2∫sin⁡(3x−2) dx3\int \frac{2 \sin{\left(3 x - 2 \right)}}{3}\, dx = \frac{2 \int \sin{\left(3 x - 2 \right)}\, dx}{3}

      1. que u=3x−2u = 3 x - 2.

        Luego que du=3dxdu = 3 dx y ponemos du3\frac{du}{3}:

        ∫sin⁡(u)3 du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{3}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) du3\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{3}

          1. La integral del seno es un coseno menos:

            ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)3- \frac{\cos{\left(u \right)}}{3}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −cos⁡(3x−2)3- \frac{\cos{\left(3 x - 2 \right)}}{3}

      Por lo tanto, el resultado es: −2cos⁡(3x−2)9- \frac{2 \cos{\left(3 x - 2 \right)}}{9}

    Método #3

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (2x+1)cos⁡(3x−2)=2xcos⁡(3x−2)+cos⁡(3x−2)\left(2 x + 1\right) \cos{\left(3 x - 2 \right)} = 2 x \cos{\left(3 x - 2 \right)} + \cos{\left(3 x - 2 \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫2xcos⁡(3x−2) dx=2∫xcos⁡(3x−2) dx\int 2 x \cos{\left(3 x - 2 \right)}\, dx = 2 \int x \cos{\left(3 x - 2 \right)}\, dx

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=xu{\left(x \right)} = x y que dv⁡(x)=cos⁡(3x−2)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(3 x - 2 \right)}.

          Entonces du⁡(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. que u=3x−2u = 3 x - 2.

            Luego que du=3dxdu = 3 dx y ponemos du3\frac{du}{3}:

            ∫cos⁡(u)3 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{3}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du3\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{3}

              1. La integral del coseno es seno:

                ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)3\frac{\sin{\left(u \right)}}{3}

            Si ahora sustituir uu más en:

            sin⁡(3x−2)3\frac{\sin{\left(3 x - 2 \right)}}{3}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫sin⁡(3x−2)3 dx=∫sin⁡(3x−2) dx3\int \frac{\sin{\left(3 x - 2 \right)}}{3}\, dx = \frac{\int \sin{\left(3 x - 2 \right)}\, dx}{3}

          1. que u=3x−2u = 3 x - 2.

            Luego que du=3dxdu = 3 dx y ponemos du3\frac{du}{3}:

            ∫sin⁡(u)3 du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{3}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) du3\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{3}

              1. La integral del seno es un coseno menos:

                ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)3- \frac{\cos{\left(u \right)}}{3}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −cos⁡(3x−2)3- \frac{\cos{\left(3 x - 2 \right)}}{3}

          Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(3x−2)9- \frac{\cos{\left(3 x - 2 \right)}}{9}

        Por lo tanto, el resultado es: 2xsin⁡(3x−2)3+2cos⁡(3x−2)9\frac{2 x \sin{\left(3 x - 2 \right)}}{3} + \frac{2 \cos{\left(3 x - 2 \right)}}{9}

      1. que u=3x−2u = 3 x - 2.

        Luego que du=3dxdu = 3 dx y ponemos du3\frac{du}{3}:

        ∫cos⁡(u)3 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{3}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du3\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{3}

          1. La integral del coseno es seno:

            ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)3\frac{\sin{\left(u \right)}}{3}

        Si ahora sustituir uu más en:

        sin⁡(3x−2)3\frac{\sin{\left(3 x - 2 \right)}}{3}

      El resultado es: 2xsin⁡(3x−2)3+sin⁡(3x−2)3+2cos⁡(3x−2)9\frac{2 x \sin{\left(3 x - 2 \right)}}{3} + \frac{\sin{\left(3 x - 2 \right)}}{3} + \frac{2 \cos{\left(3 x - 2 \right)}}{9}

  2. Añadimos la constante de integración:

    2xsin⁡(3x−2)3+sin⁡(3x−2)3+2cos⁡(3x−2)9+constant\frac{2 x \sin{\left(3 x - 2 \right)}}{3} + \frac{\sin{\left(3 x - 2 \right)}}{3} + \frac{2 \cos{\left(3 x - 2 \right)}}{9}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

2xsin⁡(3x−2)3+sin⁡(3x−2)3+2cos⁡(3x−2)9+constant\frac{2 x \sin{\left(3 x - 2 \right)}}{3} + \frac{\sin{\left(3 x - 2 \right)}}{3} + \frac{2 \cos{\left(3 x - 2 \right)}}{9}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                                                   
 |                                 sin(-2 + 3*x)   2*cos(-2 + 3*x)   2*x*sin(-2 + 3*x)
 | (2*x + 1)*cos(3*x - 2) dx = C + ------------- + --------------- + -----------------
 |                                       3                9                  3        
/
∫(2x+1)cos⁡(3x−2) dx=C+2xsin⁡(3x−2)3+sin⁡(3x−2)3+2cos⁡(3x−2)9\int \left(2 x + 1\right) \cos{\left(3 x - 2 \right)}\, dx = C + \frac{2 x \sin{\left(3 x - 2 \right)}}{3} + \frac{\sin{\left(3 x - 2 \right)}}{3} + \frac{2 \cos{\left(3 x - 2 \right)}}{9}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.905-5
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
  2*cos(2)   sin(2)   2*cos(1)         
- -------- + ------ + -------- + sin(1)
     9         3         9
−2cos⁡(2)9+2cos⁡(1)9+sin⁡(2)3+sin⁡(1)- \frac{2 \cos{\left(2 \right)}}{9} + \frac{2 \cos{\left(1 \right)}}{9} + \frac{\sin{\left(2 \right)}}{3} + \sin{\left(1 \right)} 
=
= 
  2*cos(2)   sin(2)   2*cos(1)         
- -------- + ------ + -------- + sin(1)
     9         3         9
−2cos⁡(2)9+2cos⁡(1)9+sin⁡(2)3+sin⁡(1)- \frac{2 \cos{\left(2 \right)}}{9} + \frac{2 \cos{\left(1 \right)}}{9} + \frac{\sin{\left(2 \right)}}{3} + \sin{\left(1 \right)} 
-2*cos(2)/9 + sin(2)/3 + 2*cos(1)/9 + sin(1)
Respuesta numérica [src] 
1.35711438095319
1.35711438095319

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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