Sr Examen
Integral de (dx)÷(x²+x+1) dx
Solución
Ha introducido
[src]
1 / | | 1 | ---------- dx | 2 | x + x + 1 | / -1
$$\int\limits_{-1}^{1} \frac{1}{\left(x^{2} + x\right) + 1}\, dx$$
Integral(1/(x^2 + x + 1), (x, -1, 1))
Solución detallada
Tenemos el integral:
/ | | 1 | ---------- dx | 2 | x + x + 1 | /
Reescribimos la función subintegral
1 1
---------- = -------------------------------
2 / 2 \
x + x + 1 |/ ___ ___\ |
||-2*\/ 3 \/ 3 | |
3/4*||--------*x - -----| + 1|
\\ 3 3 / /o
/ | | 1 | ---------- dx | 2 = | x + x + 1 | /
/
|
| 1
4* | ------------------------- dx
| 2
| / ___ ___\
| |-2*\/ 3 \/ 3 |
| |--------*x - -----| + 1
| \ 3 3 /
|
/
---------------------------------
3 En integral
/
|
| 1
4* | ------------------------- dx
| 2
| / ___ ___\
| |-2*\/ 3 \/ 3 |
| |--------*x - -----| + 1
| \ 3 3 /
|
/
---------------------------------
3 hacemos el cambio
___ ___
\/ 3 2*x*\/ 3
v = - ----- - ---------
3 3 entonces
integral =
/
|
| 1
4* | ------ dv
| 2
| 1 + v
|
/ 4*atan(v)
-------------- = ---------
3 3 hacemos cambio inverso
/
|
| 1
4* | ------------------------- dx
| 2
| / ___ ___\
| |-2*\/ 3 \/ 3 |
| |--------*x - -----| + 1 / ___ ___\
| \ 3 3 / ___ |\/ 3 2*x*\/ 3 |
| 2*\/ 3 *atan|----- + ---------|
/ \ 3 3 /
--------------------------------- = -------------------------------
3 3 La solución:
/ ___ ___\
___ |\/ 3 2*x*\/ 3 |
2*\/ 3 *atan|----- + ---------|
\ 3 3 /
C + -------------------------------
3
Respuesta (Indefinida)
[src]
/ ___ \ / ___ |2*\/ 3 *(1/2 + x)| | 2*\/ 3 *atan|-----------------| | 1 \ 3 / | ---------- dx = C + ------------------------------- | 2 3 | x + x + 1 | /
$$\int \frac{1}{\left(x^{2} + x\right) + 1}\, dx = C + \frac{2 \sqrt{3} \operatorname{atan}{\left(\frac{2 \sqrt{3} \left(x + \frac{1}{2}\right)}{3} \right)}}{3}$$
Gráfica
Respuesta
[src]
___ pi*\/ 3 -------- 3
$$\frac{\sqrt{3} \pi}{3}$$
=
=
___ pi*\/ 3 -------- 3
$$\frac{\sqrt{3} \pi}{3}$$
pi*sqrt(3)/3
Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.