Integral de 2x^3-40x-8/x(x+4)(x-2) dx

1. Integramos término a término:

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- \frac{8}{x} \left(x + 4\right) \left(x - 2\right)\right)\, dx = - \int \frac{8 \left(x - 2\right) \left(x + 4\right)}{x}\, dx$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{8 \left(x - 2\right) \left(x + 4\right)}{x}\, dx = 8 \int \frac{\left(x - 2\right) \left(x + 4\right)}{x}\, dx$

         1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

            Método #1

            1. Vuelva a escribir el integrando:

               $\frac{\left(x - 2\right) \left(x + 4\right)}{x} = x + 2 - \frac{8}{x}$

            2. Integramos término a término:

               1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

               1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  $\int 2\, dx = 2 x$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \left(- \frac{8}{x}\right)\, dx = - 8 \int \frac{1}{x}\, dx$

                  1. Integral $\frac{1}{x}$ es $\log{\left(x \right)}$.

                  Por lo tanto, el resultado es: $- 8 \log{\left(x \right)}$

               El resultado es: $\frac{x^{2}}{2} + 2 x - 8 \log{\left(x \right)}$

            Método #2

            1. Vuelva a escribir el integrando:

               $\frac{\left(x - 2\right) \left(x + 4\right)}{x} = \frac{x^{2} + 2 x - 8}{x}$

            2. Vuelva a escribir el integrando:

               $\frac{x^{2} + 2 x - 8}{x} = x + 2 - \frac{8}{x}$

            3. Integramos término a término:

               1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

               1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  $\int 2\, dx = 2 x$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \left(- \frac{8}{x}\right)\, dx = - 8 \int \frac{1}{x}\, dx$

                  1. Integral $\frac{1}{x}$ es $\log{\left(x \right)}$.

                  Por lo tanto, el resultado es: $- 8 \log{\left(x \right)}$

               El resultado es: $\frac{x^{2}}{2} + 2 x - 8 \log{\left(x \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $4 x^{2} + 16 x - 64 \log{\left(x \right)}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- 4 x^{2} - 16 x + 64 \log{\left(x \right)}$

   1. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 2 x^{3}\, dx = 2 \int x^{3}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x^{4}}{2}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 40 x\right)\, dx = - 40 \int x\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 20 x^{2}$

      El resultado es: $\frac{x^{4}}{2} - 20 x^{2}$

   El resultado es: $\frac{x^{4}}{2} - 24 x^{2} - 16 x + 64 \log{\left(x \right)}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{x^{4}}{2} - 24 x^{2} - 16 x + 64 \log{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{x^{4}}{2} - 24 x^{2} - 16 x + 64 \log{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$