Integral de x^3/sqrt(4-x) dx

1. que $u = \sqrt{4 - x}$.

   Luego que $du = - \frac{dx}{2 \sqrt{4 - x}}$ y ponemos $- 2 du$:

   $\int \left(- 2 \left(4 - u^{2}\right)^{3}\right)\, du$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(4 - u^{2}\right)^{3}\, du = - 2 \int \left(4 - u^{2}\right)^{3}\, du$

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\left(4 - u^{2}\right)^{3} = - u^{6} + 12 u^{4} - 48 u^{2} + 64$

      2. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- u^{6}\right)\, du = - \int u^{6}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{7}}{7}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 12 u^{4}\, du = 12 \int u^{4}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{12 u^{5}}{5}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- 48 u^{2}\right)\, du = - 48 \int u^{2}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- 16 u^{3}$

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int 64\, du = 64 u$

         El resultado es: $- \frac{u^{7}}{7} + \frac{12 u^{5}}{5} - 16 u^{3} + 64 u$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 u^{7}}{7} - \frac{24 u^{5}}{5} + 32 u^{3} - 128 u$

   Si ahora sustituir $u$ más en:

   $\frac{2 \left(4 - x\right)^{\frac{7}{2}}}{7} - \frac{24 \left(4 - x\right)^{\frac{5}{2}}}{5} + 32 \left(4 - x\right)^{\frac{3}{2}} - 128 \sqrt{4 - x}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{2 \sqrt{4 - x} \left(- 560 x + 5 \left(4 - x\right)^{3} - 84 \left(4 - x\right)^{2}\right)}{35}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{2 \sqrt{4 - x} \left(- 560 x + 5 \left(4 - x\right)^{3} - 84 \left(4 - x\right)^{2}\right)}{35}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{2 \sqrt{4 - x} \left(- 560 x + 5 \left(4 - x\right)^{3} - 84 \left(4 - x\right)^{2}\right)}{35}+ \mathrm{constant}$