Integral de x^2/sqrt(1-x^3)^3 dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{x^{2}}{\left(\sqrt{1 - x^{3}}\right)^{3}} = - \frac{x^{2}}{x^{3} \sqrt{1 - x^{3}} - \sqrt{1 - x^{3}}}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- \frac{x^{2}}{x^{3} \sqrt{1 - x^{3}} - \sqrt{1 - x^{3}}}\right)\, dx = - \int \frac{x^{2}}{x^{3} \sqrt{1 - x^{3}} - \sqrt{1 - x^{3}}}\, dx$

      1. que $u = x^{3}$.

         Luego que $du = 3 x^{2} dx$ y ponemos $du$:

         $\int \frac{1}{3 u \sqrt{1 - u} - 3 \sqrt{1 - u}}\, du$

         1. que $u = \sqrt{1 - u}$.

            Luego que $du = - \frac{du}{2 \sqrt{1 - u}}$ y ponemos $\frac{2 du}{3}$:

            $\int \frac{2}{3 u^{2}}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = \frac{2 \int \frac{1}{u^{2}}\, du}{3}$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2}{3 u}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{2}{3 \sqrt{1 - u}}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{2}{3 \sqrt{1 - x^{3}}}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2}{3 \sqrt{1 - x^{3}}}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{x^{2}}{\left(\sqrt{1 - x^{3}}\right)^{3}} = \frac{x^{2}}{- x^{3} \sqrt{1 - x^{3}} + \sqrt{1 - x^{3}}}$

   2. que $u = x^{3}$.

      Luego que $du = 3 x^{2} dx$ y ponemos $- du$:

      $\int \left(- \frac{1}{3 u \sqrt{1 - u} - 3 \sqrt{1 - u}}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{1}{3 u \sqrt{1 - u} - 3 \sqrt{1 - u}}\, du = - \int \frac{1}{3 u \sqrt{1 - u} - 3 \sqrt{1 - u}}\, du$

         1. que $u = \sqrt{1 - u}$.

            Luego que $du = - \frac{du}{2 \sqrt{1 - u}}$ y ponemos $\frac{2 du}{3}$:

            $\int \frac{2}{3 u^{2}}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = \frac{2 \int \frac{1}{u^{2}}\, du}{3}$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2}{3 u}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{2}{3 \sqrt{1 - u}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2}{3 \sqrt{1 - u}}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{2}{3 \sqrt{1 - x^{3}}}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{2}{3 \sqrt{1 - x^{3}}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{2}{3 \sqrt{1 - x^{3}}}+ \mathrm{constant}$