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Resolución de integrales/ 1-x^3/ x^2/sqrt(1-x^3)^3

Integral de x^2/sqrt(1-x^3)^3 dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  2                
  /                
 |                 
 |        2        
 |       x         
 |  ------------ dx
 |             3   
 |     ________    
 |    /      3     
 |  \/  1 - x      
 |                 
/                  
0
∫02x2(1−x3)3 dx\int\limits_{0}^{2} \frac{x^{2}}{\left(\sqrt{1 - x^{3}}\right)^{3}}\, dx 
Integral(x^2/(sqrt(1 - x^3))^3, (x, 0, 2))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      x2(1−x3)3=−x2x31−x3−1−x3\frac{x^{2}}{\left(\sqrt{1 - x^{3}}\right)^{3}} = - \frac{x^{2}}{x^{3} \sqrt{1 - x^{3}} - \sqrt{1 - x^{3}}}

    2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫(−x2x31−x3−1−x3) dx=−∫x2x31−x3−1−x3 dx\int \left(- \frac{x^{2}}{x^{3} \sqrt{1 - x^{3}} - \sqrt{1 - x^{3}}}\right)\, dx = - \int \frac{x^{2}}{x^{3} \sqrt{1 - x^{3}} - \sqrt{1 - x^{3}}}\, dx

      1. que u=x3u = x^{3}.

        Luego que du=3x2dxdu = 3 x^{2} dx y ponemos dudu:

        ∫13u1−u−31−u du\int \frac{1}{3 u \sqrt{1 - u} - 3 \sqrt{1 - u}}\, du

        1. que u=1−uu = \sqrt{1 - u}.

          Luego que du=−du21−udu = - \frac{du}{2 \sqrt{1 - u}} y ponemos 2du3\frac{2 du}{3}:

          ∫23u2 du\int \frac{2}{3 u^{2}}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫1u2 du=2∫1u2 du3\int \frac{1}{u^{2}}\, du = \frac{2 \int \frac{1}{u^{2}}\, du}{3}

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫1u2 du=−1u\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}

            Por lo tanto, el resultado es: −23u- \frac{2}{3 u}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −231−u- \frac{2}{3 \sqrt{1 - u}}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −231−x3- \frac{2}{3 \sqrt{1 - x^{3}}}

      Por lo tanto, el resultado es: 231−x3\frac{2}{3 \sqrt{1 - x^{3}}}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      x2(1−x3)3=x2−x31−x3+1−x3\frac{x^{2}}{\left(\sqrt{1 - x^{3}}\right)^{3}} = \frac{x^{2}}{- x^{3} \sqrt{1 - x^{3}} + \sqrt{1 - x^{3}}}

    2. que u=x3u = x^{3}.

      Luego que du=3x2dxdu = 3 x^{2} dx y ponemos −du- du:

      ∫(−13u1−u−31−u) du\int \left(- \frac{1}{3 u \sqrt{1 - u} - 3 \sqrt{1 - u}}\right)\, du

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫13u1−u−31−u du=−∫13u1−u−31−u du\int \frac{1}{3 u \sqrt{1 - u} - 3 \sqrt{1 - u}}\, du = - \int \frac{1}{3 u \sqrt{1 - u} - 3 \sqrt{1 - u}}\, du

        1. que u=1−uu = \sqrt{1 - u}.

          Luego que du=−du21−udu = - \frac{du}{2 \sqrt{1 - u}} y ponemos 2du3\frac{2 du}{3}:

          ∫23u2 du\int \frac{2}{3 u^{2}}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫1u2 du=2∫1u2 du3\int \frac{1}{u^{2}}\, du = \frac{2 \int \frac{1}{u^{2}}\, du}{3}

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫1u2 du=−1u\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}

            Por lo tanto, el resultado es: −23u- \frac{2}{3 u}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −231−u- \frac{2}{3 \sqrt{1 - u}}

        Por lo tanto, el resultado es: 231−u\frac{2}{3 \sqrt{1 - u}}

      Si ahora sustituir uu más en:

      231−x3\frac{2}{3 \sqrt{1 - x^{3}}}

  2. Añadimos la constante de integración:

    231−x3+constant\frac{2}{3 \sqrt{1 - x^{3}}}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

231−x3+constant\frac{2}{3 \sqrt{1 - x^{3}}}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                   
 |                                    
 |       2                            
 |      x                      2      
 | ------------ dx = C + -------------
 |            3               ________
 |    ________               /      3 
 |   /      3            3*\/  1 - x  
 | \/  1 - x                          
 |                                    
/
∫x2(1−x3)3 dx=C+231−x3\int \frac{x^{2}}{\left(\sqrt{1 - x^{3}}\right)^{3}}\, dx = C + \frac{2}{3 \sqrt{1 - x^{3}}}
Simplificar
Gráfica
0.000.100.200.300.400.500.600.700.800.901.000100000
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
                  ___
            2*I*\/ 7 
oo + oo*I - ---------
                21
∞−27i21+∞i\infty - \frac{2 \sqrt{7} i}{21} + \infty i 
=
= 
                  ___
            2*I*\/ 7 
oo + oo*I - ---------
                21
∞−27i21+∞i\infty - \frac{2 \sqrt{7} i}{21} + \infty i 
oo + oo*i - 2*i*sqrt(7)/21

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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