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Resolución de integrales/ sin^2/ tg^3(x)/ sin^2(x)ctg^3(x)

Integral de sin^2(x)ctg^3(x) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                   
  /                   
 |                    
 |     2       3      
 |  sin (x)*cot (x) dx
 |                    
/                     
0
∫01sin⁡2(x)cot⁡3(x) dx\int\limits_{0}^{1} \sin^{2}{\left(x \right)} \cot^{3}{\left(x \right)}\, dx 
Integral(sin(x)^2*cot(x)^3, (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Vuelva a escribir el integrando:

    cot⁡3(x)csc⁡2(x)=(csc⁡2(x)−1)cot⁡(x)csc⁡2(x)\frac{\cot^{3}{\left(x \right)}}{\csc^{2}{\left(x \right)}} = \frac{\left(\csc^{2}{\left(x \right)} - 1\right) \cot{\left(x \right)}}{\csc^{2}{\left(x \right)}}

  2. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=1csc⁡2(x)u = \frac{1}{\csc^{2}{\left(x \right)}}.

      Luego que du=2cot⁡(x)dxcsc⁡2(x)du = \frac{2 \cot{\left(x \right)} dx}{\csc^{2}{\left(x \right)}} y ponemos −du2- \frac{du}{2}:

      ∫(−u−12u) du\int \left(- \frac{u - 1}{2 u}\right)\, du

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫u−1u du=−∫u−1u du2\int \frac{u - 1}{u}\, du = - \frac{\int \frac{u - 1}{u}\, du}{2}

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          u−1u=1−1u\frac{u - 1}{u} = 1 - \frac{1}{u}

        2. Integramos término a término:

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫1 du=u\int 1\, du = u

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫(−1u) du=−∫1u du\int \left(- \frac{1}{u}\right)\, du = - \int \frac{1}{u}\, du

            1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

            Por lo tanto, el resultado es: −log⁡(u)- \log{\left(u \right)}

          El resultado es: u−log⁡(u)u - \log{\left(u \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: −u2+log⁡(u)2- \frac{u}{2} + \frac{\log{\left(u \right)}}{2}

      Si ahora sustituir uu más en:

      log⁡(1csc⁡2(x))2−12csc⁡2(x)\frac{\log{\left(\frac{1}{\csc^{2}{\left(x \right)}} \right)}}{2} - \frac{1}{2 \csc^{2}{\left(x \right)}}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (csc⁡2(x)−1)cot⁡(x)csc⁡2(x)=cot⁡(x)csc⁡2(x)−cot⁡(x)csc⁡2(x)\frac{\left(\csc^{2}{\left(x \right)} - 1\right) \cot{\left(x \right)}}{\csc^{2}{\left(x \right)}} = \frac{\cot{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)} - \cot{\left(x \right)}}{\csc^{2}{\left(x \right)}}

    2. que u=1csc⁡2(x)u = \frac{1}{\csc^{2}{\left(x \right)}}.

      Luego que du=2cot⁡(x)dxcsc⁡2(x)du = \frac{2 \cot{\left(x \right)} dx}{\csc^{2}{\left(x \right)}} y ponemos −du2- \frac{du}{2}:

      ∫(−u−12u) du\int \left(- \frac{u - 1}{2 u}\right)\, du

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫u−1u du=−∫u−1u du2\int \frac{u - 1}{u}\, du = - \frac{\int \frac{u - 1}{u}\, du}{2}

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          u−1u=1−1u\frac{u - 1}{u} = 1 - \frac{1}{u}

        2. Integramos término a término:

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫1 du=u\int 1\, du = u

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫(−1u) du=−∫1u du\int \left(- \frac{1}{u}\right)\, du = - \int \frac{1}{u}\, du

            1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

            Por lo tanto, el resultado es: −log⁡(u)- \log{\left(u \right)}

          El resultado es: u−log⁡(u)u - \log{\left(u \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: −u2+log⁡(u)2- \frac{u}{2} + \frac{\log{\left(u \right)}}{2}

      Si ahora sustituir uu más en:

      log⁡(1csc⁡2(x))2−12csc⁡2(x)\frac{\log{\left(\frac{1}{\csc^{2}{\left(x \right)}} \right)}}{2} - \frac{1}{2 \csc^{2}{\left(x \right)}}

    Método #3

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (csc⁡2(x)−1)cot⁡(x)csc⁡2(x)=cot⁡(x)−cot⁡(x)csc⁡2(x)\frac{\left(\csc^{2}{\left(x \right)} - 1\right) \cot{\left(x \right)}}{\csc^{2}{\left(x \right)}} = \cot{\left(x \right)} - \frac{\cot{\left(x \right)}}{\csc^{2}{\left(x \right)}}

    2. Integramos término a término:

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        cot⁡(x)=cos⁡(x)sin⁡(x)\cot{\left(x \right)} = \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}

      2. que u=sin⁡(x)u = \sin{\left(x \right)}.

        Luego que du=cos⁡(x)dxdu = \cos{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

        ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

        1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

        Si ahora sustituir uu más en:

        log⁡(sin⁡(x))\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−cot⁡(x)csc⁡2(x)) dx=−∫cot⁡(x)csc⁡2(x) dx\int \left(- \frac{\cot{\left(x \right)}}{\csc^{2}{\left(x \right)}}\right)\, dx = - \int \frac{\cot{\left(x \right)}}{\csc^{2}{\left(x \right)}}\, dx

        1. que u=csc⁡(x)u = \csc{\left(x \right)}.

          Luego que du=−cot⁡(x)csc⁡(x)dxdu = - \cot{\left(x \right)} \csc{\left(x \right)} dx y ponemos −du- du:

          ∫(−1u3) du\int \left(- \frac{1}{u^{3}}\right)\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫1u3 du=−∫1u3 du\int \frac{1}{u^{3}}\, du = - \int \frac{1}{u^{3}}\, du

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫1u3 du=−12u2\int \frac{1}{u^{3}}\, du = - \frac{1}{2 u^{2}}

            Por lo tanto, el resultado es: 12u2\frac{1}{2 u^{2}}

          Si ahora sustituir uu más en:

          12csc⁡2(x)\frac{1}{2 \csc^{2}{\left(x \right)}}

        Por lo tanto, el resultado es: −12csc⁡2(x)- \frac{1}{2 \csc^{2}{\left(x \right)}}

      El resultado es: log⁡(sin⁡(x))−12csc⁡2(x)\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} - \frac{1}{2 \csc^{2}{\left(x \right)}}

  3. Ahora simplificar:

    log⁡(sin⁡2(x))2−sin⁡2(x)2\frac{\log{\left(\sin^{2}{\left(x \right)} \right)}}{2} - \frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{2}

  4. Añadimos la constante de integración:

    log⁡(sin⁡2(x))2−sin⁡2(x)2+constant\frac{\log{\left(\sin^{2}{\left(x \right)} \right)}}{2} - \frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{2}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

log⁡(sin⁡2(x))2−sin⁡2(x)2+constant\frac{\log{\left(\sin^{2}{\left(x \right)} \right)}}{2} - \frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{2}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
                               /   1   \            
  /                         log|-------|            
 |                             |   2   |            
 |    2       3                \csc (x)/       1    
 | sin (x)*cot (x) dx = C + ------------ - ---------
 |                               2              2   
/                                          2*csc (x)
∫sin⁡2(x)cot⁡3(x) dx=C+log⁡(1csc⁡2(x))2−12csc⁡2(x)\int \sin^{2}{\left(x \right)} \cot^{3}{\left(x \right)}\, dx = C + \frac{\log{\left(\frac{1}{\csc^{2}{\left(x \right)}} \right)}}{2} - \frac{1}{2 \csc^{2}{\left(x \right)}}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.9020000-10000
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
oo
∞\infty 
=
= 
oo
∞\infty 
oo
Respuesta numérica [src] 
43.563805678587
43.563805678587

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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