Integral de ln(1+exp(-t)) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = e^{t}$.

      Luego que $du = e^{t} dt$ y ponemos $du$:

      $\int \frac{\log{\left(1 + \frac{1}{u} \right)}}{u}\, du$

      1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

         Pero la integral

         $\operatorname{Li}_{2}\left(\frac{e^{i \pi}}{u}\right)$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\operatorname{Li}_{2}\left(e^{i \pi} e^{- t}\right)$

   Método #2

   1. Usamos la integración por partes:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      que $u{\left(t \right)} = \log{\left(1 + e^{- t} \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(t \right)} = 1$.

      Entonces $\operatorname{du}{\left(t \right)} = - \frac{e^{- t}}{1 + e^{- t}}$.

      Para buscar $v{\left(t \right)}$:

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 1\, dt = t$

      Ahora resolvemos podintegral.

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- \frac{t e^{- t}}{1 + e^{- t}}\right)\, dt = - \int \frac{t e^{- t}}{1 + e^{- t}}\, dt$

      1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

         Pero la integral

         $\int \frac{t}{e^{t} + 1}\, dt$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \int \frac{t}{e^{t} + 1}\, dt$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\operatorname{Li}_{2}\left(e^{i \pi} e^{- t}\right)+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\operatorname{Li}_{2}\left(e^{i \pi} e^{- t}\right)+ \mathrm{constant}$