Integral de dx/(9+sqrt(8x-4)) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \sqrt{8 x - 4}$.

      Luego que $du = \frac{4 dx}{\sqrt{8 x - 4}}$ y ponemos $du$:

      $\int \frac{u}{4 u + 36}\, du$

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{u}{4 u + 36} = \frac{1}{4} - \frac{9}{4 \left(u + 9\right)}$

      2. Integramos término a término:

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int \frac{1}{4}\, du = \frac{u}{4}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- \frac{9}{4 \left(u + 9\right)}\right)\, du = - \frac{9 \int \frac{1}{u + 9}\, du}{4}$

            1. que $u = u + 9$.

               Luego que $du = du$ y ponemos $du$:

               $\int \frac{1}{u}\, du$

               1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\log{\left(u + 9 \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{9 \log{\left(u + 9 \right)}}{4}$

         El resultado es: $\frac{u}{4} - \frac{9 \log{\left(u + 9 \right)}}{4}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\sqrt{8 x - 4}}{4} - \frac{9 \log{\left(\sqrt{8 x - 4} + 9 \right)}}{4}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{1}{\sqrt{8 x - 4} + 9} = \frac{1}{2 \sqrt{2 x - 1} + 9}$

   2. que $u = \sqrt{2 x - 1}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{\sqrt{2 x - 1}}$ y ponemos $du$:

      $\int \frac{u}{2 u + 9}\, du$

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{u}{2 u + 9} = \frac{1}{2} - \frac{9}{2 \left(2 u + 9\right)}$

      2. Integramos término a término:

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int \frac{1}{2}\, du = \frac{u}{2}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- \frac{9}{2 \left(2 u + 9\right)}\right)\, du = - \frac{9 \int \frac{1}{2 u + 9}\, du}{2}$

            1. que $u = 2 u + 9$.

               Luego que $du = 2 du$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

               $\int \frac{1}{2 u}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{2}$

                  1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u \right)}}{2}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{\log{\left(2 u + 9 \right)}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{9 \log{\left(2 u + 9 \right)}}{4}$

         El resultado es: $\frac{u}{2} - \frac{9 \log{\left(2 u + 9 \right)}}{4}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\sqrt{2 x - 1}}{2} - \frac{9 \log{\left(2 \sqrt{2 x - 1} + 9 \right)}}{4}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{\sqrt{2 x - 1}}{2} - \frac{9 \log{\left(2 \sqrt{2 x - 1} + 9 \right)}}{4}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\sqrt{2 x - 1}}{2} - \frac{9 \log{\left(2 \sqrt{2 x - 1} + 9 \right)}}{4}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\sqrt{2 x - 1}}{2} - \frac{9 \log{\left(2 \sqrt{2 x - 1} + 9 \right)}}{4}+ \mathrm{constant}$