Integral de (sqrt(x)-x/2)*5*(x-1)*dx dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \sqrt{x}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{2 \sqrt{x}}$ y ponemos $du$:

      $\int \left(- 5 u^{5} + 10 u^{4} + 5 u^{3} - 10 u^{2}\right)\, du$

      1. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- 5 u^{5}\right)\, du = - 5 \int u^{5}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{5}\, du = \frac{u^{6}}{6}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{5 u^{6}}{6}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 10 u^{4}\, du = 10 \int u^{4}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

            Por lo tanto, el resultado es: $2 u^{5}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 5 u^{3}\, du = 5 \int u^{3}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{5 u^{4}}{4}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- 10 u^{2}\right)\, du = - 10 \int u^{2}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{10 u^{3}}{3}$

         El resultado es: $- \frac{5 u^{6}}{6} + 2 u^{5} + \frac{5 u^{4}}{4} - \frac{10 u^{3}}{3}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $2 x^{\frac{5}{2}} - \frac{10 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{5 x^{3}}{6} + \frac{5 x^{2}}{4}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $5 \left(\sqrt{x} - \frac{x}{2}\right) \left(x - 1\right) = 5 x^{\frac{3}{2}} - 5 \sqrt{x} - \frac{5 x^{2}}{2} + \frac{5 x}{2}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 5 x^{\frac{3}{2}}\, dx = 5 \int x^{\frac{3}{2}}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{\frac{3}{2}}\, dx = \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5}$

         Por lo tanto, el resultado es: $2 x^{\frac{5}{2}}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 5 \sqrt{x}\right)\, dx = - 5 \int \sqrt{x}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \sqrt{x}\, dx = \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{10 x^{\frac{3}{2}}}{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{5 x^{2}}{2}\right)\, dx = - \frac{5 \int x^{2}\, dx}{2}$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{5 x^{3}}{6}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{5 x}{2}\, dx = \frac{5 \int x\, dx}{2}$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{5 x^{2}}{4}$

      El resultado es: $2 x^{\frac{5}{2}} - \frac{10 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{5 x^{3}}{6} + \frac{5 x^{2}}{4}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $2 x^{\frac{5}{2}} - \frac{10 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{5 x^{3}}{6} + \frac{5 x^{2}}{4}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$2 x^{\frac{5}{2}} - \frac{10 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{5 x^{3}}{6} + \frac{5 x^{2}}{4}+ \mathrm{constant}$