Integral de (exp(3x)-exp(-2x))² dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = e^{x}$.

      Luego que $du = e^{x} dx$ y ponemos $du$:

      $\int \frac{\left(u^{3} - \frac{1}{u^{2}}\right)^{2}}{u}\, du$

      1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

         Método #1

         1. que $u = \frac{1}{u}$.

            Luego que $du = - \frac{du}{u^{2}}$ y ponemos $- du$:

            $\int \left(- \frac{u^{10} - 2 u^{5} + 1}{u^{7}}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{u^{10} - 2 u^{5} + 1}{u^{7}}\, du = - \int \frac{u^{10} - 2 u^{5} + 1}{u^{7}}\, du$

               1. Vuelva a escribir el integrando:

                  $\frac{u^{10} - 2 u^{5} + 1}{u^{7}} = u^{3} - \frac{2}{u^{2}} + \frac{1}{u^{7}}$

               2. Integramos término a término:

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \left(- \frac{2}{u^{2}}\right)\, du = - 2 \int \frac{1}{u^{2}}\, du$

                     1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                        $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2}{u}$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int \frac{1}{u^{7}}\, du = - \frac{1}{6 u^{6}}$

                  El resultado es: $\frac{u^{4}}{4} + \frac{2}{u} - \frac{1}{6 u^{6}}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{4}}{4} - \frac{2}{u} + \frac{1}{6 u^{6}}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{u^{6}}{6} - 2 u - \frac{1}{4 u^{4}}$

         Método #2

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{\left(u^{3} - \frac{1}{u^{2}}\right)^{2}}{u} = u^{5} - 2 + \frac{1}{u^{5}}$

         2. Integramos término a término:

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{5}\, du = \frac{u^{6}}{6}$

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int \left(-2\right)\, du = - 2 u$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int \frac{1}{u^{5}}\, du = - \frac{1}{4 u^{4}}$

            El resultado es: $\frac{u^{6}}{6} - 2 u - \frac{1}{4 u^{4}}$

         Método #3

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{\left(u^{3} - \frac{1}{u^{2}}\right)^{2}}{u} = \frac{u^{10} - 2 u^{5} + 1}{u^{5}}$

         2. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{u^{10} - 2 u^{5} + 1}{u^{5}} = u^{5} - 2 + \frac{1}{u^{5}}$

         3. Integramos término a término:

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{5}\, du = \frac{u^{6}}{6}$

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int \left(-2\right)\, du = - 2 u$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int \frac{1}{u^{5}}\, du = - \frac{1}{4 u^{4}}$

            El resultado es: $\frac{u^{6}}{6} - 2 u - \frac{1}{4 u^{4}}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{e^{6 x}}{6} - 2 e^{x} - \frac{e^{- 4 x}}{4}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(e^{3 x} - e^{- 2 x}\right)^{2} = \left(e^{10 x} - 2 e^{5 x} + 1\right) e^{- 4 x}$

   2. que $u = e^{x}$.

      Luego que $du = e^{x} dx$ y ponemos $du$:

      $\int \frac{u^{10} - 2 u^{5} + 1}{u^{5}}\, du$

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{u^{10} - 2 u^{5} + 1}{u^{5}} = u^{5} - 2 + \frac{1}{u^{5}}$

      2. Integramos término a término:

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u^{5}\, du = \frac{u^{6}}{6}$

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int \left(-2\right)\, du = - 2 u$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \frac{1}{u^{5}}\, du = - \frac{1}{4 u^{4}}$

         El resultado es: $\frac{u^{6}}{6} - 2 u - \frac{1}{4 u^{4}}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{e^{6 x}}{6} - 2 e^{x} - \frac{e^{- 4 x}}{4}$

   Método #3

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(e^{3 x} - e^{- 2 x}\right)^{2} = e^{6 x} - 2 e^{x} + e^{- 4 x}$

   2. Integramos término a término:

      1. que $u = 6 x$.

         Luego que $du = 6 dx$ y ponemos $\frac{du}{6}$:

         $\int \frac{e^{u}}{6}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\text{False}$

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{6}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{e^{6 x}}{6}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 2 e^{x}\right)\, dx = - 2 \int e^{x}\, dx$

         1. La integral de la función exponencial es la mesma.

            $\int e^{x}\, dx = e^{x}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 2 e^{x}$

      1. que $u = - 4 x$.

         Luego que $du = - 4 dx$ y ponemos $- \frac{du}{4}$:

         $\int \left(- \frac{e^{u}}{4}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\text{False}$

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{e^{u}}{4}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{e^{- 4 x}}{4}$

      El resultado es: $\frac{e^{6 x}}{6} - 2 e^{x} - \frac{e^{- 4 x}}{4}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{e^{6 x}}{6} - 2 e^{x} - \frac{e^{- 4 x}}{4}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{e^{6 x}}{6} - 2 e^{x} - \frac{e^{- 4 x}}{4}+ \mathrm{constant}$