Integral de sqrt(4-x)^2 dx

1. que $u = \sqrt{4 - x}$.

   Luego que $du = - \frac{dx}{2 \sqrt{4 - x}}$ y ponemos $du$:

   $\int \left(2 u \left(4 - u^{2}\right) - 8 u\right)\, du$

   1. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 2 u \left(4 - u^{2}\right)\, du = 2 \int u \left(4 - u^{2}\right)\, du$

         1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

            Método #1

            1. que $u = u^{2}$.

               Luego que $du = 2 u du$ y ponemos $du$:

               $\int \left(2 - \frac{u}{2}\right)\, du$

               1. Integramos término a término:

                  1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                     $\int 2\, du = 2 u$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \left(- \frac{u}{2}\right)\, du = - \frac{\int u\, du}{2}$

                     1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                        $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{2}}{4}$

                  El resultado es: $- \frac{u^{2}}{4} + 2 u$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $- \frac{u^{4}}{4} + 2 u^{2}$

            Método #2

            1. Vuelva a escribir el integrando:

               $u \left(4 - u^{2}\right) = - u^{3} + 4 u$

            2. Integramos término a término:

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \left(- u^{3}\right)\, du = - \int u^{3}\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{4}}{4}$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int 4 u\, du = 4 \int u\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $2 u^{2}$

               El resultado es: $- \frac{u^{4}}{4} + 2 u^{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{4}}{2} + 4 u^{2}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 8 u\right)\, du = - 8 \int u\, du$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 4 u^{2}$

      El resultado es: $- \frac{u^{4}}{2}$

   Si ahora sustituir $u$ más en:

   $- \frac{\left(4 - x\right)^{2}}{2}$

2. Ahora simplificar:

   $- \frac{\left(x - 4\right)^{2}}{2}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{\left(x - 4\right)^{2}}{2}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{\left(x - 4\right)^{2}}{2}+ \mathrm{constant}$