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Resolución de integrales/ cos^2/ tg^3(x)/ cos^2(x)*tg^3(x)

Integral de cos^2(x)*tg^3(x) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                   
  /                   
 |                    
 |     2       3      
 |  cos (x)*tan (x) dx
 |                    
/                     
0
∫01cos⁡2(x)tan⁡3(x) dx\int\limits_{0}^{1} \cos^{2}{\left(x \right)} \tan^{3}{\left(x \right)}\, dx 
Integral(cos(x)^2*tan(x)^3, (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Vuelva a escribir el integrando:

    tan⁡3(x)sec⁡2(x)=(sec⁡2(x)−1)tan⁡(x)sec⁡2(x)\frac{\tan^{3}{\left(x \right)}}{\sec^{2}{\left(x \right)}} = \frac{\left(\sec^{2}{\left(x \right)} - 1\right) \tan{\left(x \right)}}{\sec^{2}{\left(x \right)}}

  2. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=1sec⁡2(x)u = \frac{1}{\sec^{2}{\left(x \right)}}.

      Luego que du=−2tan⁡(x)dxsec⁡2(x)du = - \frac{2 \tan{\left(x \right)} dx}{\sec^{2}{\left(x \right)}} y ponemos du2\frac{du}{2}:

      ∫u−12u du\int \frac{u - 1}{2 u}\, du

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫u−1u du=∫u−1u du2\int \frac{u - 1}{u}\, du = \frac{\int \frac{u - 1}{u}\, du}{2}

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          u−1u=1−1u\frac{u - 1}{u} = 1 - \frac{1}{u}

        2. Integramos término a término:

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫1 du=u\int 1\, du = u

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫(−1u) du=−∫1u du\int \left(- \frac{1}{u}\right)\, du = - \int \frac{1}{u}\, du

            1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

            Por lo tanto, el resultado es: −log⁡(u)- \log{\left(u \right)}

          El resultado es: u−log⁡(u)u - \log{\left(u \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: u2−log⁡(u)2\frac{u}{2} - \frac{\log{\left(u \right)}}{2}

      Si ahora sustituir uu más en:

      −log⁡(1sec⁡2(x))2+12sec⁡2(x)- \frac{\log{\left(\frac{1}{\sec^{2}{\left(x \right)}} \right)}}{2} + \frac{1}{2 \sec^{2}{\left(x \right)}}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (sec⁡2(x)−1)tan⁡(x)sec⁡2(x)=tan⁡(x)sec⁡2(x)−tan⁡(x)sec⁡2(x)\frac{\left(\sec^{2}{\left(x \right)} - 1\right) \tan{\left(x \right)}}{\sec^{2}{\left(x \right)}} = \frac{\tan{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)} - \tan{\left(x \right)}}{\sec^{2}{\left(x \right)}}

    2. que u=1sec⁡2(x)u = \frac{1}{\sec^{2}{\left(x \right)}}.

      Luego que du=−2tan⁡(x)dxsec⁡2(x)du = - \frac{2 \tan{\left(x \right)} dx}{\sec^{2}{\left(x \right)}} y ponemos du2\frac{du}{2}:

      ∫u−12u du\int \frac{u - 1}{2 u}\, du

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫u−1u du=∫u−1u du2\int \frac{u - 1}{u}\, du = \frac{\int \frac{u - 1}{u}\, du}{2}

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          u−1u=1−1u\frac{u - 1}{u} = 1 - \frac{1}{u}

        2. Integramos término a término:

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫1 du=u\int 1\, du = u

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫(−1u) du=−∫1u du\int \left(- \frac{1}{u}\right)\, du = - \int \frac{1}{u}\, du

            1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

            Por lo tanto, el resultado es: −log⁡(u)- \log{\left(u \right)}

          El resultado es: u−log⁡(u)u - \log{\left(u \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: u2−log⁡(u)2\frac{u}{2} - \frac{\log{\left(u \right)}}{2}

      Si ahora sustituir uu más en:

      −log⁡(1sec⁡2(x))2+12sec⁡2(x)- \frac{\log{\left(\frac{1}{\sec^{2}{\left(x \right)}} \right)}}{2} + \frac{1}{2 \sec^{2}{\left(x \right)}}

    Método #3

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (sec⁡2(x)−1)tan⁡(x)sec⁡2(x)=tan⁡(x)−tan⁡(x)sec⁡2(x)\frac{\left(\sec^{2}{\left(x \right)} - 1\right) \tan{\left(x \right)}}{\sec^{2}{\left(x \right)}} = \tan{\left(x \right)} - \frac{\tan{\left(x \right)}}{\sec^{2}{\left(x \right)}}

    2. Integramos término a término:

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        tan⁡(x)=sin⁡(x)cos⁡(x)\tan{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}

      2. que u=cos⁡(x)u = \cos{\left(x \right)}.

        Luego que du=−sin⁡(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx y ponemos −du- du:

        ∫(−1u) du\int \left(- \frac{1}{u}\right)\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫1u du=−∫1u du\int \frac{1}{u}\, du = - \int \frac{1}{u}\, du

          1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

          Por lo tanto, el resultado es: −log⁡(u)- \log{\left(u \right)}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −log⁡(cos⁡(x))- \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−tan⁡(x)sec⁡2(x)) dx=−∫tan⁡(x)sec⁡2(x) dx\int \left(- \frac{\tan{\left(x \right)}}{\sec^{2}{\left(x \right)}}\right)\, dx = - \int \frac{\tan{\left(x \right)}}{\sec^{2}{\left(x \right)}}\, dx

        1. que u=sec⁡(x)u = \sec{\left(x \right)}.

          Luego que du=tan⁡(x)sec⁡(x)dxdu = \tan{\left(x \right)} \sec{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

          ∫1u3 du\int \frac{1}{u^{3}}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫1u3 du=−12u2\int \frac{1}{u^{3}}\, du = - \frac{1}{2 u^{2}}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −12sec⁡2(x)- \frac{1}{2 \sec^{2}{\left(x \right)}}

        Por lo tanto, el resultado es: 12sec⁡2(x)\frac{1}{2 \sec^{2}{\left(x \right)}}

      El resultado es: −log⁡(cos⁡(x))+12sec⁡2(x)- \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} + \frac{1}{2 \sec^{2}{\left(x \right)}}

  3. Ahora simplificar:

    −log⁡(cos⁡2(x))2+cos⁡2(x)2- \frac{\log{\left(\cos^{2}{\left(x \right)} \right)}}{2} + \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2}

  4. Añadimos la constante de integración:

    −log⁡(cos⁡2(x))2+cos⁡2(x)2+constant- \frac{\log{\left(\cos^{2}{\left(x \right)} \right)}}{2} + \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

−log⁡(cos⁡2(x))2+cos⁡2(x)2+constant- \frac{\log{\left(\cos^{2}{\left(x \right)} \right)}}{2} + \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
                                           /   1   \
  /                                     log|-------|
 |                                         |   2   |
 |    2       3                 1          \sec (x)/
 | cos (x)*tan (x) dx = C + --------- - ------------
 |                               2           2      
/                           2*sec (x)
∫cos⁡2(x)tan⁡3(x) dx=C−log⁡(1sec⁡2(x))2+12sec⁡2(x)\int \cos^{2}{\left(x \right)} \tan^{3}{\left(x \right)}\, dx = C - \frac{\log{\left(\frac{1}{\sec^{2}{\left(x \right)}} \right)}}{2} + \frac{1}{2 \sec^{2}{\left(x \right)}}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.9002
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
         2                 
  1   cos (1)              
- - + ------- - log(cos(1))
  2      2
−12+cos⁡2(1)2−log⁡(cos⁡(1))- \frac{1}{2} + \frac{\cos^{2}{\left(1 \right)}}{2} - \log{\left(\cos{\left(1 \right)} \right)} 
=
= 
         2                 
  1   cos (1)              
- - + ------- - log(cos(1))
  2      2
−12+cos⁡2(1)2−log⁡(cos⁡(1))- \frac{1}{2} + \frac{\cos^{2}{\left(1 \right)}}{2} - \log{\left(\cos{\left(1 \right)} \right)} 
-1/2 + cos(1)^2/2 - log(cos(1))
Respuesta numérica [src] 
0.261589761249229
0.261589761249229

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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