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Resolución de integrales/ arctg/ (x^2)/ sin(x^2)arctg(xy)

Integral de sin(x^2)arctg(xy) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
 oo                     
  /                     
 |                      
 |     / 2\             
 |  sin\x /*atan(x*y) dx
 |                      
/                       
0
∫0∞sin⁡(x2)atan⁡(xy) dx\int\limits_{0}^{\infty} \sin{\left(x^{2} \right)} \operatorname{atan}{\left(x y \right)}\, dx 
Integral(sin(x^2)*atan(x*y), (x, 0, oo))
Solución detallada

  1. Usamos la integración por partes:

    ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

    que u(x)=atan⁡(xy)u{\left(x \right)} = \operatorname{atan}{\left(x y \right)} y que dv⁡(x)=sin⁡(x2)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(x^{2} \right)}.

    Entonces du⁡(x)=yx2y2+1\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{y}{x^{2} y^{2} + 1}.

    Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

      FresnelSRule(a=1, b=0, c=0, context=sin(x**2), symbol=x)

    Ahora resolvemos podintegral.

  2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

    ∫2πyS(2xπ)2(x2y2+1) dx=2πy∫S(2xπ)x2y2+1 dx2\int \frac{\sqrt{2} \sqrt{\pi} y S\left(\frac{\sqrt{2} x}{\sqrt{\pi}}\right)}{2 \left(x^{2} y^{2} + 1\right)}\, dx = \frac{\sqrt{2} \sqrt{\pi} y \int \frac{S\left(\frac{\sqrt{2} x}{\sqrt{\pi}}\right)}{x^{2} y^{2} + 1}\, dx}{2}

    1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

      Pero la integral

      ∫S(2xπ)x2y2+1 dx\int \frac{S\left(\frac{\sqrt{2} x}{\sqrt{\pi}}\right)}{x^{2} y^{2} + 1}\, dx

    Por lo tanto, el resultado es: 2πy∫S(2xπ)x2y2+1 dx2\frac{\sqrt{2} \sqrt{\pi} y \int \frac{S\left(\frac{\sqrt{2} x}{\sqrt{\pi}}\right)}{x^{2} y^{2} + 1}\, dx}{2}

  3. Ahora simplificar:

    2π(−y∫S(2xπ)x2y2+1 dx+atan⁡(xy)S(2xπ))2\frac{\sqrt{2} \sqrt{\pi} \left(- y \int \frac{S\left(\frac{\sqrt{2} x}{\sqrt{\pi}}\right)}{x^{2} y^{2} + 1}\, dx + \operatorname{atan}{\left(x y \right)} S\left(\frac{\sqrt{2} x}{\sqrt{\pi}}\right)\right)}{2}

  4. Añadimos la constante de integración:

    2π(−y∫S(2xπ)x2y2+1 dx+atan⁡(xy)S(2xπ))2+constant\frac{\sqrt{2} \sqrt{\pi} \left(- y \int \frac{S\left(\frac{\sqrt{2} x}{\sqrt{\pi}}\right)}{x^{2} y^{2} + 1}\, dx + \operatorname{atan}{\left(x y \right)} S\left(\frac{\sqrt{2} x}{\sqrt{\pi}}\right)\right)}{2}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

2π(−y∫S(2xπ)x2y2+1 dx+atan⁡(xy)S(2xπ))2+constant\frac{\sqrt{2} \sqrt{\pi} \left(- y \int \frac{S\left(\frac{\sqrt{2} x}{\sqrt{\pi}}\right)}{x^{2} y^{2} + 1}\, dx + \operatorname{atan}{\left(x y \right)} S\left(\frac{\sqrt{2} x}{\sqrt{\pi}}\right)\right)}{2}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
                                                                                   /             
                                                                                  |              
                                                                                  |  /    ___\   
                                                                                  |  |x*\/ 2 |   
                                                                                  | S|-------|   
                                                                                  |  |   ____|   
                                                                      ___   ____  |  \ \/ pi /   
                                                      /    ___\   y*\/ 2 *\/ pi * | ---------- dx
                                ___   ____            |x*\/ 2 |                   |      2  2    
  /                           \/ 2 *\/ pi *atan(x*y)*S|-------|                   | 1 + x *y     
 |                                                    |   ____|                   |              
 |    / 2\                                            \ \/ pi /                  /               
 | sin\x /*atan(x*y) dx = C + --------------------------------- - -------------------------------
 |                                            2                                  2               
/
∫sin⁡(x2)atan⁡(xy) dx=C−2πy∫S(2xπ)x2y2+1 dx2+2πatan⁡(xy)S(2xπ)2\int \sin{\left(x^{2} \right)} \operatorname{atan}{\left(x y \right)}\, dx = C - \frac{\sqrt{2} \sqrt{\pi} y \int \frac{S\left(\frac{\sqrt{2} x}{\sqrt{\pi}}\right)}{x^{2} y^{2} + 1}\, dx}{2} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{\pi} \operatorname{atan}{\left(x y \right)} S\left(\frac{\sqrt{2} x}{\sqrt{\pi}}\right)}{2}
Simplificar
Respuesta [src] 
 oo                     
  /                     
 |                      
 |               / 2\   
 |  atan(x*y)*sin\x / dx
 |                      
/                       
0
∫0∞sin⁡(x2)atan⁡(xy) dx\int\limits_{0}^{\infty} \sin{\left(x^{2} \right)} \operatorname{atan}{\left(x y \right)}\, dx 
=
= 
 oo                     
  /                     
 |                      
 |               / 2\   
 |  atan(x*y)*sin\x / dx
 |                      
/                       
0
∫0∞sin⁡(x2)atan⁡(xy) dx\int\limits_{0}^{\infty} \sin{\left(x^{2} \right)} \operatorname{atan}{\left(x y \right)}\, dx 
Integral(atan(x*y)*sin(x^2), (x, 0, oo))

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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