Integral de cosx*arctg(sinx) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \sin{\left(x \right)}$.

      Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

      $\int \operatorname{atan}{\left(u \right)}\, du$

      1. Usamos la integración por partes:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         que $u{\left(u \right)} = \operatorname{atan}{\left(u \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = 1$.

         Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = \frac{1}{u^{2} + 1}$.

         Para buscar $v{\left(u \right)}$:

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int 1\, du = u$

         Ahora resolvemos podintegral.

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{u}{u^{2} + 1}\, du = \frac{\int \frac{2 u}{u^{2} + 1}\, du}{2}$

         1. que $u = u^{2} + 1$.

            Luego que $du = 2 u du$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

            $\int \frac{1}{2 u}\, du$

            1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\log{\left(u^{2} + 1 \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u^{2} + 1 \right)}}{2}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{\log{\left(\sin^{2}{\left(x \right)} + 1 \right)}}{2} + \sin{\left(x \right)} \operatorname{atan}{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}$

   Método #2

   1. Usamos la integración por partes:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      que $u{\left(x \right)} = \operatorname{atan}{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$.

      Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)} + 1}$.

      Para buscar $v{\left(x \right)}$:

      1. La integral del coseno es seno:

         $\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}$

      Ahora resolvemos podintegral.

   2. que $u = \sin^{2}{\left(x \right)} + 1$.

      Luego que $du = 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

      $\int \frac{1}{2 u}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{2}$

         1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u \right)}}{2}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\log{\left(\sin^{2}{\left(x \right)} + 1 \right)}}{2}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{\log{\left(\sin^{2}{\left(x \right)} + 1 \right)}}{2} + \sin{\left(x \right)} \operatorname{atan}{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{\log{\left(\sin^{2}{\left(x \right)} + 1 \right)}}{2} + \sin{\left(x \right)} \operatorname{atan}{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}+ \mathrm{constant}$