Integral de ln|1-x| dx

Solución

Ha introducido [src]

  2                
  /                
 |                 
 |  log(|1 - x|) dx
 |                 
/                  
0

$$\int\limits_{0}^{2} \log{\left(\left|{1 - x}\right| \right)}\, dx$$

Integral(log(|1 - x|), (x, 0, 2))

Solución detallada

Usamos la integración por partes:

$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

que $u{\left(x \right)} = \log{\left(\left|{1 - x}\right| \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = 1$ .

Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{\left(- \left(1 - \operatorname{re}{\left(x\right)}\right) \frac{d}{d x} \operatorname{re}{\left(x\right)} + \operatorname{im}{\left(x\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{im}{\left(x\right)}\right) \operatorname{sign}{\left(x - 1 \right)}}{\left(x - 1\right) \left|{1 - x}\right|}$ .

Para buscar $v{\left(x \right)}$ :
1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
  
  $\int 1\, dx = x$
Ahora resolvemos podintegral.
Hay varias maneras de calcular esta integral.
Método #1
1. Vuelva a escribir el integrando:
  
  $\frac{x \left(- \left(1 - \operatorname{re}{\left(x\right)}\right) \frac{d}{d x} \operatorname{re}{\left(x\right)} + \operatorname{im}{\left(x\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{im}{\left(x\right)}\right) \operatorname{sign}{\left(x - 1 \right)}}{\left(x - 1\right) \left|{1 - x}\right|} = \frac{x \operatorname{re}{\left(x\right)} \operatorname{sign}{\left(x - 1 \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{re}{\left(x\right)} + x \operatorname{im}{\left(x\right)} \operatorname{sign}{\left(x - 1 \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{im}{\left(x\right)} - x \operatorname{sign}{\left(x - 1 \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{re}{\left(x\right)}}{x \left|{1 - x}\right| - \left|{1 - x}\right|}$
2. Vuelva a escribir el integrando:
  
  $\frac{x \operatorname{re}{\left(x\right)} \operatorname{sign}{\left(x - 1 \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{re}{\left(x\right)} + x \operatorname{im}{\left(x\right)} \operatorname{sign}{\left(x - 1 \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{im}{\left(x\right)} - x \operatorname{sign}{\left(x - 1 \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{re}{\left(x\right)}}{x \left|{1 - x}\right| - \left|{1 - x}\right|} = \frac{x \operatorname{re}{\left(x\right)} \operatorname{sign}{\left(x - 1 \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{re}{\left(x\right)}}{x \left|{1 - x}\right| - \left|{1 - x}\right|} + \frac{x \operatorname{im}{\left(x\right)} \operatorname{sign}{\left(x - 1 \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{im}{\left(x\right)}}{x \left|{1 - x}\right| - \left|{1 - x}\right|} - \frac{x \operatorname{sign}{\left(x - 1 \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{re}{\left(x\right)}}{x \left|{1 - x}\right| - \left|{1 - x}\right|}$
3. Integramos término a término:
  1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.
    
    Pero la integral
    
    $\int \frac{x \operatorname{re}{\left(x\right)} \operatorname{sign}{\left(x - 1 \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{re}{\left(x\right)}}{\left(x - 1\right) \left|{1 - x}\right|}\, dx$
  1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.
    
    Pero la integral
    
    $\int \frac{x \operatorname{im}{\left(x\right)} \operatorname{sign}{\left(x - 1 \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{im}{\left(x\right)}}{\left(x - 1\right) \left|{1 - x}\right|}\, dx$
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int \left(- \frac{x \operatorname{sign}{\left(x - 1 \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{re}{\left(x\right)}}{x \left|{1 - x}\right| - \left|{1 - x}\right|}\right)\, dx = - \int \frac{x \operatorname{sign}{\left(x - 1 \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{re}{\left(x\right)}}{x \left|{1 - x}\right| - \left|{1 - x}\right|}\, dx$
    1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.
      
      Pero la integral
      
      $\int \frac{x \operatorname{sign}{\left(x - 1 \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{re}{\left(x\right)}}{\left(x - 1\right) \left|{1 - x}\right|}\, dx$
    Por lo tanto, el resultado es: $- \int \frac{x \operatorname{sign}{\left(x - 1 \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{re}{\left(x\right)}}{\left(x - 1\right) \left|{1 - x}\right|}\, dx$
  El resultado es: $- \int \frac{x \operatorname{sign}{\left(x - 1 \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{re}{\left(x\right)}}{\left(x - 1\right) \left|{1 - x}\right|}\, dx + \int \frac{x \operatorname{re}{\left(x\right)} \operatorname{sign}{\left(x - 1 \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{re}{\left(x\right)}}{\left(x - 1\right) \left|{1 - x}\right|}\, dx + \int \frac{x \operatorname{im}{\left(x\right)} \operatorname{sign}{\left(x - 1 \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{im}{\left(x\right)}}{\left(x - 1\right) \left|{1 - x}\right|}\, dx$
Método #2
1. Vuelva a escribir el integrando:
  
  $\frac{x \left(- \left(1 - \operatorname{re}{\left(x\right)}\right) \frac{d}{d x} \operatorname{re}{\left(x\right)} + \operatorname{im}{\left(x\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{im}{\left(x\right)}\right) \operatorname{sign}{\left(x - 1 \right)}}{\left(x - 1\right) \left|{1 - x}\right|} = \frac{x \operatorname{re}{\left(x\right)} \operatorname{sign}{\left(x - 1 \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{re}{\left(x\right)}}{x \left|{1 - x}\right| - \left|{1 - x}\right|} + \frac{x \operatorname{im}{\left(x\right)} \operatorname{sign}{\left(x - 1 \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{im}{\left(x\right)}}{x \left|{1 - x}\right| - \left|{1 - x}\right|} - \frac{x \operatorname{sign}{\left(x - 1 \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{re}{\left(x\right)}}{x \left|{1 - x}\right| - \left|{1 - x}\right|}$
2. Integramos término a término:
  1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.
    
    Pero la integral
    
    $\int \frac{x \operatorname{re}{\left(x\right)} \operatorname{sign}{\left(x - 1 \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{re}{\left(x\right)}}{\left(x - 1\right) \left|{1 - x}\right|}\, dx$
  1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.
    
    Pero la integral
    
    $\int \frac{x \operatorname{im}{\left(x\right)} \operatorname{sign}{\left(x - 1 \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{im}{\left(x\right)}}{\left(x - 1\right) \left|{1 - x}\right|}\, dx$
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int \left(- \frac{x \operatorname{sign}{\left(x - 1 \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{re}{\left(x\right)}}{x \left|{1 - x}\right| - \left|{1 - x}\right|}\right)\, dx = - \int \frac{x \operatorname{sign}{\left(x - 1 \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{re}{\left(x\right)}}{x \left|{1 - x}\right| - \left|{1 - x}\right|}\, dx$
    1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.
      
      Pero la integral
      
      $\int \frac{x \operatorname{sign}{\left(x - 1 \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{re}{\left(x\right)}}{\left(x - 1\right) \left|{1 - x}\right|}\, dx$
    Por lo tanto, el resultado es: $- \int \frac{x \operatorname{sign}{\left(x - 1 \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{re}{\left(x\right)}}{\left(x - 1\right) \left|{1 - x}\right|}\, dx$
  El resultado es: $- \int \frac{x \operatorname{sign}{\left(x - 1 \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{re}{\left(x\right)}}{\left(x - 1\right) \left|{1 - x}\right|}\, dx + \int \frac{x \operatorname{re}{\left(x\right)} \operatorname{sign}{\left(x - 1 \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{re}{\left(x\right)}}{\left(x - 1\right) \left|{1 - x}\right|}\, dx + \int \frac{x \operatorname{im}{\left(x\right)} \operatorname{sign}{\left(x - 1 \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{im}{\left(x\right)}}{\left(x - 1\right) \left|{1 - x}\right|}\, dx$
Ahora simplificar:

$x \log{\left(\left|{x - 1}\right| \right)} + \int \frac{x \operatorname{sign}{\left(x - 1 \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{re}{\left(x\right)}}{\left(x - 1\right) \left|{x - 1}\right|}\, dx - \int \frac{x \operatorname{re}{\left(x\right)} \operatorname{sign}{\left(x - 1 \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{re}{\left(x\right)}}{\left(x - 1\right) \left|{x - 1}\right|}\, dx - \int \frac{x \operatorname{im}{\left(x\right)} \operatorname{sign}{\left(x - 1 \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{im}{\left(x\right)}}{\left(x - 1\right) \left|{x - 1}\right|}\, dx$
Añadimos la constante de integración:

$x \log{\left(\left|{x - 1}\right| \right)} + \int \frac{x \operatorname{sign}{\left(x - 1 \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{re}{\left(x\right)}}{\left(x - 1\right) \left|{x - 1}\right|}\, dx - \int \frac{x \operatorname{re}{\left(x\right)} \operatorname{sign}{\left(x - 1 \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{re}{\left(x\right)}}{\left(x - 1\right) \left|{x - 1}\right|}\, dx - \int \frac{x \operatorname{im}{\left(x\right)} \operatorname{sign}{\left(x - 1 \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{im}{\left(x\right)}}{\left(x - 1\right) \left|{x - 1}\right|}\, dx+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$x \log{\left(\left|{x - 1}\right| \right)} + \int \frac{x \operatorname{sign}{\left(x - 1 \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{re}{\left(x\right)}}{\left(x - 1\right) \left|{x - 1}\right|}\, dx - \int \frac{x \operatorname{re}{\left(x\right)} \operatorname{sign}{\left(x - 1 \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{re}{\left(x\right)}}{\left(x - 1\right) \left|{x - 1}\right|}\, dx - \int \frac{x \operatorname{im}{\left(x\right)} \operatorname{sign}{\left(x - 1 \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{im}{\left(x\right)}}{\left(x - 1\right) \left|{x - 1}\right|}\, dx+ \mathrm{constant}$

Respuesta (Indefinida) [src]

                           /                                      /                                                       /                           
                          |                                      |                                                       |                            
                          |   d                                  |   d                                                   |   d                        
  /                       | x*--(im(x))*im(x)*sign(-1 + x)       | x*--(re(x))*re(x)*sign(-1 + x)                        | x*--(re(x))*sign(-1 + x)   
 |                        |   dx                                 |   dx                                                  |   dx                       
 | log(|1 - x|) dx = C -  | ------------------------------ dx -  | ------------------------------ dx + x*log(|1 - x|) +  | ------------------------ dx
 |                        |        (-1 + x)*|1 - x|              |        (-1 + x)*|1 - x|                               |     (-1 + x)*|1 - x|       
/                         |                                      |                                                       |                            
                         /                                      /                                                       /

$$\int \log{\left(\left|{1 - x}\right| \right)}\, dx = C + x \log{\left(\left|{1 - x}\right| \right)} + \int \frac{x \operatorname{sign}{\left(x - 1 \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{re}{\left(x\right)}}{\left(x - 1\right) \left|{1 - x}\right|}\, dx - \int \frac{x \operatorname{re}{\left(x\right)} \operatorname{sign}{\left(x - 1 \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{re}{\left(x\right)}}{\left(x - 1\right) \left|{1 - x}\right|}\, dx - \int \frac{x \operatorname{im}{\left(x\right)} \operatorname{sign}{\left(x - 1 \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{im}{\left(x\right)}}{\left(x - 1\right) \left|{1 - x}\right|}\, dx$$

Gráfica

Trazar el gráfico f(x)

Respuesta [src]

-2

$$-2$$

-2

$$-2$$

-2

Respuesta numérica [src]

-inf

-inf

Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

Otras calculadoras

¿Cómo usar?

Expresiones idénticas

Expresiones semejantes

Expresiones con funciones

Integral de ln|1-x| dx

Límites de integración:

Gráfico:

Definida a trozos:

Solución

Método #1

Método #2