Integral de x^4*arctg(3x) dx

1. Usamos la integración por partes:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   que $u{\left(x \right)} = \operatorname{atan}{\left(3 x \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = x^{4}$.

   Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{3}{9 x^{2} + 1}$.

   Para buscar $v{\left(x \right)}$:

   1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

      $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

   Ahora resolvemos podintegral.

2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

   $\int \frac{3 x^{5}}{5 \left(9 x^{2} + 1\right)}\, dx = \frac{3 \int \frac{x^{5}}{9 x^{2} + 1}\, dx}{5}$

   1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. que $u = x^{2}$.

         Luego que $du = 2 x dx$ y ponemos $du$:

         $\int \frac{u^{2}}{18 u + 2}\, du$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{u^{2}}{18 u + 2} = \frac{u}{18} - \frac{1}{162} + \frac{1}{162 \left(9 u + 1\right)}$

         2. Integramos término a término:

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{u}{18}\, du = \frac{\int u\, du}{18}$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{2}}{36}$

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int \left(- \frac{1}{162}\right)\, du = - \frac{u}{162}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{1}{162 \left(9 u + 1\right)}\, du = \frac{\int \frac{1}{9 u + 1}\, du}{162}$

               1. que $u = 9 u + 1$.

                  Luego que $du = 9 du$ y ponemos $\frac{du}{9}$:

                  $\int \frac{1}{9 u}\, du$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{9}$

                     1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                     Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u \right)}}{9}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\frac{\log{\left(9 u + 1 \right)}}{9}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(9 u + 1 \right)}}{1458}$

            El resultado es: $\frac{u^{2}}{36} - \frac{u}{162} + \frac{\log{\left(9 u + 1 \right)}}{1458}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{x^{4}}{36} - \frac{x^{2}}{162} + \frac{\log{\left(9 x^{2} + 1 \right)}}{1458}$

      Método #2

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{x^{5}}{9 x^{2} + 1} = \frac{x^{3}}{9} - \frac{x}{81} + \frac{x}{81 \left(9 x^{2} + 1\right)}$

      2. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{x^{3}}{9}\, dx = \frac{\int x^{3}\, dx}{9}$

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x^{4}}{36}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- \frac{x}{81}\right)\, dx = - \frac{\int x\, dx}{81}$

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{x^{2}}{162}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{x}{81 \left(9 x^{2} + 1\right)}\, dx = \frac{\int \frac{x}{9 x^{2} + 1}\, dx}{81}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{x}{9 x^{2} + 1}\, dx = \frac{\int \frac{18 x}{9 x^{2} + 1}\, dx}{18}$

               1. que $u = 9 x^{2} + 1$.

                  Luego que $du = 18 x dx$ y ponemos $\frac{du}{18}$:

                  $\int \frac{1}{18 u}\, du$

                  1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\log{\left(9 x^{2} + 1 \right)}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(9 x^{2} + 1 \right)}}{18}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(9 x^{2} + 1 \right)}}{1458}$

         El resultado es: $\frac{x^{4}}{36} - \frac{x^{2}}{162} + \frac{\log{\left(9 x^{2} + 1 \right)}}{1458}$

   Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x^{4}}{60} - \frac{x^{2}}{270} + \frac{\log{\left(9 x^{2} + 1 \right)}}{2430}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{x^{5} \operatorname{atan}{\left(3 x \right)}}{5} - \frac{x^{4}}{60} + \frac{x^{2}}{270} - \frac{\log{\left(9 x^{2} + 1 \right)}}{2430}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{x^{5} \operatorname{atan}{\left(3 x \right)}}{5} - \frac{x^{4}}{60} + \frac{x^{2}}{270} - \frac{\log{\left(9 x^{2} + 1 \right)}}{2430}+ \mathrm{constant}$