Integral de x^2*sin(pi*x) dx

1. Usamos la integración por partes:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   que $u{\left(x \right)} = x^{2}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(\pi x \right)}$.

   Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 2 x$.

   Para buscar $v{\left(x \right)}$:

   1. que $u = \pi x$.

      Luego que $du = \pi dx$ y ponemos $\frac{du}{\pi}$:

      $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{\pi}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{\pi}$

         1. La integral del seno es un coseno menos:

            $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\cos{\left(u \right)}}{\pi}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{\cos{\left(\pi x \right)}}{\pi}$

   Ahora resolvemos podintegral.

2. Usamos la integración por partes:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   que $u{\left(x \right)} = - \frac{2 x}{\pi}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(\pi x \right)}$.

   Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = - \frac{2}{\pi}$.

   Para buscar $v{\left(x \right)}$:

   1. que $u = \pi x$.

      Luego que $du = \pi dx$ y ponemos $\frac{du}{\pi}$:

      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{\pi}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{\pi}$

         1. La integral del coseno es seno:

            $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{\pi}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{\pi}$

   Ahora resolvemos podintegral.

3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

   $\int \left(- \frac{2 \sin{\left(\pi x \right)}}{\pi^{2}}\right)\, dx = - \frac{2 \int \sin{\left(\pi x \right)}\, dx}{\pi^{2}}$

   1. que $u = \pi x$.

      Luego que $du = \pi dx$ y ponemos $\frac{du}{\pi}$:

      $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{\pi}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{\pi}$

         1. La integral del seno es un coseno menos:

            $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\cos{\left(u \right)}}{\pi}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{\cos{\left(\pi x \right)}}{\pi}$

   Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 \cos{\left(\pi x \right)}}{\pi^{3}}$

4. Ahora simplificar:

   $\frac{- \pi^{2} x^{2} \cos{\left(\pi x \right)} + 2 \pi x \sin{\left(\pi x \right)} + 2 \cos{\left(\pi x \right)}}{\pi^{3}}$

5. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{- \pi^{2} x^{2} \cos{\left(\pi x \right)} + 2 \pi x \sin{\left(\pi x \right)} + 2 \cos{\left(\pi x \right)}}{\pi^{3}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{- \pi^{2} x^{2} \cos{\left(\pi x \right)} + 2 \pi x \sin{\left(\pi x \right)} + 2 \cos{\left(\pi x \right)}}{\pi^{3}}+ \mathrm{constant}$