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Resolución de integrales/ inxdx/ 2*sinx/ (3+cosx)^2*sinxdx

Integral de (3+cosx)^2*sinxdx dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
 pi                        
 --                        
 2                         
  /                        
 |                         
 |              2          
 |  (3 + cos(x)) *sin(x) dx
 |                         
/                          
0
∫0π2(cos⁡(x)+3)2sin⁡(x) dx\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} \left(\cos{\left(x \right)} + 3\right)^{2} \sin{\left(x \right)}\, dx 
Integral((3 + cos(x))^2*sin(x), (x, 0, pi/2))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=cos⁡(x)+3u = \cos{\left(x \right)} + 3.

      Luego que du=−sin⁡(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx y ponemos −du- du:

      ∫(−u2) du\int \left(- u^{2}\right)\, du

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫u2 du=−∫u2 du\int u^{2}\, du = - \int u^{2}\, du

        1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫u2 du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

        Por lo tanto, el resultado es: −u33- \frac{u^{3}}{3}

      Si ahora sustituir uu más en:

      −(cos⁡(x)+3)33- \frac{\left(\cos{\left(x \right)} + 3\right)^{3}}{3}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (cos⁡(x)+3)2sin⁡(x)=sin⁡(x)cos⁡2(x)+6sin⁡(x)cos⁡(x)+9sin⁡(x)\left(\cos{\left(x \right)} + 3\right)^{2} \sin{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} + 6 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + 9 \sin{\left(x \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. que u=cos⁡(x)u = \cos{\left(x \right)}.

        Luego que du=−sin⁡(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx y ponemos −du- du:

        ∫(−u2) du\int \left(- u^{2}\right)\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫u2 du=−∫u2 du\int u^{2}\, du = - \int u^{2}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫u2 du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

          Por lo tanto, el resultado es: −u33- \frac{u^{3}}{3}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −cos⁡3(x)3- \frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫6sin⁡(x)cos⁡(x) dx=6∫sin⁡(x)cos⁡(x) dx\int 6 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 6 \int \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx

        1. que u=cos⁡(x)u = \cos{\left(x \right)}.

          Luego que du=−sin⁡(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx y ponemos −du- du:

          ∫(−u) du\int \left(- u\right)\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫u du=−∫u du\int u\, du = - \int u\, du

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫u du=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: −u22- \frac{u^{2}}{2}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −cos⁡2(x)2- \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: −3cos⁡2(x)- 3 \cos^{2}{\left(x \right)}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫9sin⁡(x) dx=9∫sin⁡(x) dx\int 9 \sin{\left(x \right)}\, dx = 9 \int \sin{\left(x \right)}\, dx

        1. La integral del seno es un coseno menos:

          ∫sin⁡(x) dx=−cos⁡(x)\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: −9cos⁡(x)- 9 \cos{\left(x \right)}

      El resultado es: −cos⁡3(x)3−3cos⁡2(x)−9cos⁡(x)- \frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3} - 3 \cos^{2}{\left(x \right)} - 9 \cos{\left(x \right)}

    Método #3

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (cos⁡(x)+3)2sin⁡(x)=sin⁡(x)cos⁡2(x)+6sin⁡(x)cos⁡(x)+9sin⁡(x)\left(\cos{\left(x \right)} + 3\right)^{2} \sin{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} + 6 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + 9 \sin{\left(x \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. que u=cos⁡(x)u = \cos{\left(x \right)}.

        Luego que du=−sin⁡(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx y ponemos −du- du:

        ∫(−u2) du\int \left(- u^{2}\right)\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫u2 du=−∫u2 du\int u^{2}\, du = - \int u^{2}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫u2 du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

          Por lo tanto, el resultado es: −u33- \frac{u^{3}}{3}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −cos⁡3(x)3- \frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫6sin⁡(x)cos⁡(x) dx=6∫sin⁡(x)cos⁡(x) dx\int 6 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 6 \int \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx

        1. que u=cos⁡(x)u = \cos{\left(x \right)}.

          Luego que du=−sin⁡(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx y ponemos −du- du:

          ∫(−u) du\int \left(- u\right)\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫u du=−∫u du\int u\, du = - \int u\, du

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫u du=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: −u22- \frac{u^{2}}{2}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −cos⁡2(x)2- \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: −3cos⁡2(x)- 3 \cos^{2}{\left(x \right)}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫9sin⁡(x) dx=9∫sin⁡(x) dx\int 9 \sin{\left(x \right)}\, dx = 9 \int \sin{\left(x \right)}\, dx

        1. La integral del seno es un coseno menos:

          ∫sin⁡(x) dx=−cos⁡(x)\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: −9cos⁡(x)- 9 \cos{\left(x \right)}

      El resultado es: −cos⁡3(x)3−3cos⁡2(x)−9cos⁡(x)- \frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3} - 3 \cos^{2}{\left(x \right)} - 9 \cos{\left(x \right)}

  2. Añadimos la constante de integración:

    −(cos⁡(x)+3)33+constant- \frac{\left(\cos{\left(x \right)} + 3\right)^{3}}{3}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

−(cos⁡(x)+3)33+constant- \frac{\left(\cos{\left(x \right)} + 3\right)^{3}}{3}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                           
 |                                           3
 |             2                 (3 + cos(x)) 
 | (3 + cos(x)) *sin(x) dx = C - -------------
 |                                     3      
/
∫(cos⁡(x)+3)2sin⁡(x) dx=C−(cos⁡(x)+3)33\int \left(\cos{\left(x \right)} + 3\right)^{2} \sin{\left(x \right)}\, dx = C - \frac{\left(\cos{\left(x \right)} + 3\right)^{3}}{3}
Simplificar
Gráfica
0.00.10.20.30.40.50.60.70.80.91.01.11.21.31.41.5-2020
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
37/3
373\frac{37}{3} 
=
= 
37/3
373\frac{37}{3} 
37/3
Respuesta numérica [src] 
12.3333333333333
12.3333333333333

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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