Integral de (x^3+3x^2+2)*sin(2*x) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(\left(x^{3} + 3 x^{2}\right) + 2\right) \sin{\left(2 x \right)} = x^{3} \sin{\left(2 x \right)} + 3 x^{2} \sin{\left(2 x \right)} + 2 \sin{\left(2 x \right)}$

   2. Integramos término a término:

      1. Usamos la integración por partes:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         que $u{\left(x \right)} = x^{3}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(2 x \right)}$.

         Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 3 x^{2}$.

         Para buscar $v{\left(x \right)}$:

         1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

            Método #1

            1. que $u = 2 x$.

               Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

               $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{2}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{2}$

                  1. La integral del seno es un coseno menos:

                     $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}$

            Método #2

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 2 \int \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

               1. que $u = \cos{\left(x \right)}$.

                  Luego que $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- du$:

                  $\int \left(- u\right)\, du$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int u\, du = - \int u\, du$

                     1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                        $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{2}}{2}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $- \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \cos^{2}{\left(x \right)}$

         Ahora resolvemos podintegral.

      2. Usamos la integración por partes:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         que $u{\left(x \right)} = - \frac{3 x^{2}}{2}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(2 x \right)}$.

         Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = - 3 x$.

         Para buscar $v{\left(x \right)}$:

         1. que $u = 2 x$.

            Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

            $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$

               1. La integral del coseno es seno:

                  $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$

         Ahora resolvemos podintegral.

      3. Usamos la integración por partes:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         que $u{\left(x \right)} = - \frac{3 x}{2}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(2 x \right)}$.

         Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = - \frac{3}{2}$.

         Para buscar $v{\left(x \right)}$:

         1. que $u = 2 x$.

            Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

            $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{2}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{2}$

               1. La integral del seno es un coseno menos:

                  $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}$

         Ahora resolvemos podintegral.

      4. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{3 \cos{\left(2 x \right)}}{4}\, dx = \frac{3 \int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{4}$

         1. que $u = 2 x$.

            Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

            $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$

               1. La integral del coseno es seno:

                  $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 \sin{\left(2 x \right)}}{8}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 3 x^{2} \sin{\left(2 x \right)}\, dx = 3 \int x^{2} \sin{\left(2 x \right)}\, dx$

         1. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(x \right)} = x^{2}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(2 x \right)}$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 2 x$.

            Para buscar $v{\left(x \right)}$:

            1. que $u = 2 x$.

               Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

               $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{2}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{2}$

                  1. La integral del seno es un coseno menos:

                     $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}$

            Ahora resolvemos podintegral.

         2. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(x \right)} = - x$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(2 x \right)}$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = -1$.

            Para buscar $v{\left(x \right)}$:

            1. que $u = 2 x$.

               Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

               $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$

                  1. La integral del coseno es seno:

                     $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$

            Ahora resolvemos podintegral.

         3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}\right)\, dx = - \frac{\int \sin{\left(2 x \right)}\, dx}{2}$

            1. que $u = 2 x$.

               Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

               $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{2}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{2}$

                  1. La integral del seno es un coseno menos:

                     $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\cos{\left(2 x \right)}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{3 x^{2} \cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{3 x \sin{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{3 \cos{\left(2 x \right)}}{4}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 2 \sin{\left(2 x \right)}\, dx = 2 \int \sin{\left(2 x \right)}\, dx$

         1. que $u = 2 x$.

            Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

            $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{2}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{2}$

               1. La integral del seno es un coseno menos:

                  $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \cos{\left(2 x \right)}$

      El resultado es: $- \frac{x^{3} \cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{3 x^{2} \sin{\left(2 x \right)}}{4} - \frac{3 x^{2} \cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{3 x \sin{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{3 x \cos{\left(2 x \right)}}{4} - \frac{3 \sin{\left(2 x \right)}}{8} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{4}$

   Método #2

   1. Usamos la integración por partes:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      que $u{\left(x \right)} = x^{3} + 3 x^{2} + 2$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(2 x \right)}$.

      Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 3 x^{2} + 6 x$.

      Para buscar $v{\left(x \right)}$:

      1. que $u = 2 x$.

         Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

         $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{2}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{2}$

            1. La integral del seno es un coseno menos:

               $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}$

      Ahora resolvemos podintegral.

   2. Usamos la integración por partes:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      que $u{\left(x \right)} = - \frac{3 x \left(x + 2\right)}{2}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(2 x \right)}$.

      Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = - 3 x - 3$.

      Para buscar $v{\left(x \right)}$:

      1. que $u = 2 x$.

         Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

         $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$

            1. La integral del coseno es seno:

               $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$

      Ahora resolvemos podintegral.

   3. Usamos la integración por partes:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      que $u{\left(x \right)} = - \frac{3 x}{2} - \frac{3}{2}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(2 x \right)}$.

      Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = - \frac{3}{2}$.

      Para buscar $v{\left(x \right)}$:

      1. que $u = 2 x$.

         Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

         $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{2}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{2}$

            1. La integral del seno es un coseno menos:

               $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}$

      Ahora resolvemos podintegral.

   4. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{3 \cos{\left(2 x \right)}}{4}\, dx = \frac{3 \int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{4}$

      1. que $u = 2 x$.

         Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

         $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$

            1. La integral del coseno es seno:

               $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 \sin{\left(2 x \right)}}{8}$

   Método #3

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(\left(x^{3} + 3 x^{2}\right) + 2\right) \sin{\left(2 x \right)} = x^{3} \sin{\left(2 x \right)} + 3 x^{2} \sin{\left(2 x \right)} + 2 \sin{\left(2 x \right)}$

   2. Integramos término a término:

      1. Usamos la integración por partes:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         que $u{\left(x \right)} = x^{3}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(2 x \right)}$.

         Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 3 x^{2}$.

         Para buscar $v{\left(x \right)}$:

         1. que $u = 2 x$.

            Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

            $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{2}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{2}$

               1. La integral del seno es un coseno menos:

                  $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}$

         Ahora resolvemos podintegral.

      2. Usamos la integración por partes:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         que $u{\left(x \right)} = - \frac{3 x^{2}}{2}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(2 x \right)}$.

         Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = - 3 x$.

         Para buscar $v{\left(x \right)}$:

         1. que $u = 2 x$.

            Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

            $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$

               1. La integral del coseno es seno:

                  $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$

         Ahora resolvemos podintegral.

      3. Usamos la integración por partes:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         que $u{\left(x \right)} = - \frac{3 x}{2}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(2 x \right)}$.

         Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = - \frac{3}{2}$.

         Para buscar $v{\left(x \right)}$:

         1. que $u = 2 x$.

            Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

            $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{2}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{2}$

               1. La integral del seno es un coseno menos:

                  $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}$

         Ahora resolvemos podintegral.

      4. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{3 \cos{\left(2 x \right)}}{4}\, dx = \frac{3 \int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{4}$

         1. que $u = 2 x$.

            Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

            $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$

               1. La integral del coseno es seno:

                  $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 \sin{\left(2 x \right)}}{8}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 3 x^{2} \sin{\left(2 x \right)}\, dx = 3 \int x^{2} \sin{\left(2 x \right)}\, dx$

         1. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(x \right)} = x^{2}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(2 x \right)}$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 2 x$.

            Para buscar $v{\left(x \right)}$:

            1. que $u = 2 x$.

               Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

               $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{2}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{2}$

                  1. La integral del seno es un coseno menos:

                     $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}$

            Ahora resolvemos podintegral.

         2. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(x \right)} = - x$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(2 x \right)}$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = -1$.

            Para buscar $v{\left(x \right)}$:

            1. que $u = 2 x$.

               Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

               $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$

                  1. La integral del coseno es seno:

                     $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$

            Ahora resolvemos podintegral.

         3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}\right)\, dx = - \frac{\int \sin{\left(2 x \right)}\, dx}{2}$

            1. que $u = 2 x$.

               Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

               $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{2}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{2}$

                  1. La integral del seno es un coseno menos:

                     $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\cos{\left(2 x \right)}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{3 x^{2} \cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{3 x \sin{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{3 \cos{\left(2 x \right)}}{4}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 2 \sin{\left(2 x \right)}\, dx = 2 \int \sin{\left(2 x \right)}\, dx$

         1. que $u = 2 x$.

            Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

            $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{2}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{2}$

               1. La integral del seno es un coseno menos:

                  $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \cos{\left(2 x \right)}$

      El resultado es: $- \frac{x^{3} \cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{3 x^{2} \sin{\left(2 x \right)}}{4} - \frac{3 x^{2} \cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{3 x \sin{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{3 x \cos{\left(2 x \right)}}{4} - \frac{3 \sin{\left(2 x \right)}}{8} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{4}$

   Método #4

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 2 \left(\left(x^{3} + 3 x^{2}\right) + 2\right) \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 2 \int \left(\left(x^{3} + 3 x^{2}\right) + 2\right) \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\left(\left(x^{3} + 3 x^{2}\right) + 2\right) \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} = x^{3} \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + 3 x^{2} \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}$

      2. Integramos término a término:

         1. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(x \right)} = x^{3}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 3 x^{2}$.

            Para buscar $v{\left(x \right)}$:

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \sin{\left(2 x \right)}\, dx}{2}$

               1. que $u = 2 x$.

                  Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

                  $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{2}\, du$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{2}$

                     1. La integral del seno es un coseno menos:

                        $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{4}$

            Ahora resolvemos podintegral.

         2. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(x \right)} = - \frac{3 x^{2}}{4}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(2 x \right)}$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = - \frac{3 x}{2}$.

            Para buscar $v{\left(x \right)}$:

            1. que $u = 2 x$.

               Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

               $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$

                  1. La integral del coseno es seno:

                     $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$

            Ahora resolvemos podintegral.

         3. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(x \right)} = - \frac{3 x}{4}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(2 x \right)}$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = - \frac{3}{4}$.

            Para buscar $v{\left(x \right)}$:

            1. que $u = 2 x$.

               Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

               $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{2}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{2}$

                  1. La integral del seno es un coseno menos:

                     $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}$

            Ahora resolvemos podintegral.

         4. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{3 \cos{\left(2 x \right)}}{8}\, dx = \frac{3 \int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{8}$

            1. que $u = 2 x$.

               Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

               $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$

                  1. La integral del coseno es seno:

                     $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 \sin{\left(2 x \right)}}{16}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 3 x^{2} \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 3 \int x^{2} \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

            1. Usamos la integración por partes:

               $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

               que $u{\left(x \right)} = x^{2}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}$.

               Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 2 x$.

               Para buscar $v{\left(x \right)}$:

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \sin{\left(2 x \right)}\, dx}{2}$

                  1. que $u = 2 x$.

                     Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

                     $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{2}\, du$

                     1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                        $\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{2}$

                        1. La integral del seno es un coseno menos:

                           $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$

                        Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}$

                     Si ahora sustituir $u$ más en:

                     $- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{4}$

               Ahora resolvemos podintegral.

            2. Usamos la integración por partes:

               $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

               que $u{\left(x \right)} = - \frac{x}{2}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(2 x \right)}$.

               Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = - \frac{1}{2}$.

               Para buscar $v{\left(x \right)}$:

               1. que $u = 2 x$.

                  Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

                  $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$

                     1. La integral del coseno es seno:

                        $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$

               Ahora resolvemos podintegral.

            3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}\right)\, dx = - \frac{\int \sin{\left(2 x \right)}\, dx}{4}$

               1. que $u = 2 x$.

                  Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

                  $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{2}\, du$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{2}$

                     1. La integral del seno es un coseno menos:

                        $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\cos{\left(2 x \right)}}{8}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{3 x^{2} \cos{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{3 x \sin{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{3 \cos{\left(2 x \right)}}{8}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 2 \int \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

            1. que $u = \cos{\left(x \right)}$.

               Luego que $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- du$:

               $\int \left(- u\right)\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int u\, du = - \int u\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{2}}{2}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $- \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \cos^{2}{\left(x \right)}$

         El resultado es: $- \frac{x^{3} \cos{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{3 x^{2} \sin{\left(2 x \right)}}{8} - \frac{3 x^{2} \cos{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{3 x \sin{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{3 x \cos{\left(2 x \right)}}{8} - \frac{3 \sin{\left(2 x \right)}}{16} - \cos^{2}{\left(x \right)} + \frac{3 \cos{\left(2 x \right)}}{8}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{x^{3} \cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{3 x^{2} \sin{\left(2 x \right)}}{4} - \frac{3 x^{2} \cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{3 x \sin{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{3 x \cos{\left(2 x \right)}}{4} - \frac{3 \sin{\left(2 x \right)}}{8} - 2 \cos^{2}{\left(x \right)} + \frac{3 \cos{\left(2 x \right)}}{4}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{x^{3} \cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{3 x^{2} \sin{\left(2 x \right)}}{4} - \frac{3 x^{2} \cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{3 x \sin{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{3 x \cos{\left(2 x \right)}}{4} - \frac{3 \sin{\left(2 x \right)}}{8} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{4}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{x^{3} \cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{3 x^{2} \sin{\left(2 x \right)}}{4} - \frac{3 x^{2} \cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{3 x \sin{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{3 x \cos{\left(2 x \right)}}{4} - \frac{3 \sin{\left(2 x \right)}}{8} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{4}+ \mathrm{constant}$