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Resolución de integrales/ sin^2/ cos^5/ cos^5x/sin^2x

Integral de cos^5x/sin^2x dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1           
  /           
 |            
 |     5      
 |  cos (x)   
 |  ------- dx
 |     2      
 |  sin (x)   
 |            
/             
0
∫01cos⁡5(x)sin⁡2(x) dx\int\limits_{0}^{1} \frac{\cos^{5}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}\, dx 
Integral(cos(x)^5/sin(x)^2, (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Vuelva a escribir el integrando:

    cos⁡5(x)sin⁡2(x)=(1−sin⁡2(x))2cos⁡(x)sin⁡2(x)\frac{\cos^{5}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}} = \frac{\left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right)^{2} \cos{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}

  2. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=sin⁡(x)u = \sin{\left(x \right)}.

      Luego que du=cos⁡(x)dxdu = \cos{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

      ∫u4−2u2+1u2 du\int \frac{u^{4} - 2 u^{2} + 1}{u^{2}}\, du

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        u4−2u2+1u2=u2−2+1u2\frac{u^{4} - 2 u^{2} + 1}{u^{2}} = u^{2} - 2 + \frac{1}{u^{2}}

      2. Integramos término a término:

        1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫u2 du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

        1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

          ∫(−2) du=−2u\int \left(-2\right)\, du = - 2 u

        1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫1u2 du=−1u\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}

        El resultado es: u33−2u−1u\frac{u^{3}}{3} - 2 u - \frac{1}{u}

      Si ahora sustituir uu más en:

      sin⁡3(x)3−2sin⁡(x)−1sin⁡(x)\frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3} - 2 \sin{\left(x \right)} - \frac{1}{\sin{\left(x \right)}}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (1−sin⁡2(x))2cos⁡(x)sin⁡2(x)=sin⁡4(x)cos⁡(x)−2sin⁡2(x)cos⁡(x)+cos⁡(x)sin⁡2(x)\frac{\left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right)^{2} \cos{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}} = \frac{\sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - 2 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}

    2. que u=sin⁡(x)u = \sin{\left(x \right)}.

      Luego que du=cos⁡(x)dxdu = \cos{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

      ∫u4−2u2+1u2 du\int \frac{u^{4} - 2 u^{2} + 1}{u^{2}}\, du

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        u4−2u2+1u2=u2−2+1u2\frac{u^{4} - 2 u^{2} + 1}{u^{2}} = u^{2} - 2 + \frac{1}{u^{2}}

      2. Integramos término a término:

        1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫u2 du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

        1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

          ∫(−2) du=−2u\int \left(-2\right)\, du = - 2 u

        1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫1u2 du=−1u\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}

        El resultado es: u33−2u−1u\frac{u^{3}}{3} - 2 u - \frac{1}{u}

      Si ahora sustituir uu más en:

      sin⁡3(x)3−2sin⁡(x)−1sin⁡(x)\frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3} - 2 \sin{\left(x \right)} - \frac{1}{\sin{\left(x \right)}}

    Método #3

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (1−sin⁡2(x))2cos⁡(x)sin⁡2(x)=sin⁡2(x)cos⁡(x)−2cos⁡(x)+cos⁡(x)sin⁡2(x)\frac{\left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right)^{2} \cos{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}} = \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - 2 \cos{\left(x \right)} + \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}

    2. Integramos término a término:

      1. que u=sin⁡(x)u = \sin{\left(x \right)}.

        Luego que du=cos⁡(x)dxdu = \cos{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

        ∫u2 du\int u^{2}\, du

        1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫u2 du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

        Si ahora sustituir uu más en:

        sin⁡3(x)3\frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−2cos⁡(x)) dx=−2∫cos⁡(x) dx\int \left(- 2 \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - 2 \int \cos{\left(x \right)}\, dx

        1. La integral del coseno es seno:

          ∫cos⁡(x) dx=sin⁡(x)\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: −2sin⁡(x)- 2 \sin{\left(x \right)}

      1. que u=sin⁡(x)u = \sin{\left(x \right)}.

        Luego que du=cos⁡(x)dxdu = \cos{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

        ∫1u2 du\int \frac{1}{u^{2}}\, du

        1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫1u2 du=−1u\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −1sin⁡(x)- \frac{1}{\sin{\left(x \right)}}

      El resultado es: sin⁡3(x)3−2sin⁡(x)−1sin⁡(x)\frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3} - 2 \sin{\left(x \right)} - \frac{1}{\sin{\left(x \right)}}

  3. Añadimos la constante de integración:

    sin⁡3(x)3−2sin⁡(x)−1sin⁡(x)+constant\frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3} - 2 \sin{\left(x \right)} - \frac{1}{\sin{\left(x \right)}}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

sin⁡3(x)3−2sin⁡(x)−1sin⁡(x)+constant\frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3} - 2 \sin{\left(x \right)} - \frac{1}{\sin{\left(x \right)}}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                            
 |                                             
 |    5                                    3   
 | cos (x)            1                 sin (x)
 | ------- dx = C - ------ - 2*sin(x) + -------
 |    2             sin(x)                 3   
 | sin (x)                                     
 |                                             
/
∫cos⁡5(x)sin⁡2(x) dx=C+sin⁡3(x)3−2sin⁡(x)−1sin⁡(x)\int \frac{\cos^{5}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}\, dx = C + \frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3} - 2 \sin{\left(x \right)} - \frac{1}{\sin{\left(x \right)}}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.90-5000000050000000
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
oo
∞\infty 
=
= 
oo
∞\infty 
oo
Respuesta numérica [src] 
1.3793236779486e+19
1.3793236779486e+19

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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